WM014

Rys. 9-9

Wykażmy wzajemną równość naprężeń stycznych przynależnych do danego punktu przekroju poprzecznego, działających w dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyznach: płaszczyźnie przekroju poprzecznego oraz płaszczyźnie równoległej do powierzchni obojętnej.

Oddziaływanie sąsiednich części belki (rys. 9-9a) na wycięty myślowo przekrojami poprzecznymi 1-1 i 2-2 element zastąpiono odpowiednio siłami M_a i T_a oraz M_a+ +dM_a i T_a+dT_a. Wytnijmy z kolei z tego elementu nieskończenie bliskimi przekrojami poziomymi 3-3 i 4-4, równoległymi do powierzchni obojętnej, prostopadłościan o podstawie bdx i wysokości dz (rys. 9-9b). Oddziaływanie sąsiednich części belki na wyodrębniony prostopadłościan zastępujemy odpowiednimi naprężeniami normalnymi a i stycznymi r, uważając że są one równomiernie rozłożone na powierzchniach bdz i bdx. Pozorny brak równowagi tego prostopadłościanu (warunek EZ = 0 przy dr_xz ^ 0 nie jest spełniony) jest wynikiem nieuwzględnienia — wobec ich znikomej wartości — naprężeń normalnych a_z na górnej ścianie i a_z+da_z na dolnej ścianie prostopadłościanu. Przy zginaniu ze ścinaniem bowiem — w przeciwieństwie do zginania czystego — sąsiednie włókna podłużne belki w rzeczywistości wywierają na siebie wzajemne naciski, jednak wywołane przez nie naprężenia są znikome w porównaniu z naprężeniami a_x działającymi w przekrojach poprzecznych, co będzie wyjaśnione w dalszych rozważaniach (por. p. 9.8). Wykorzystując warunek równowagi prostopadłościanu ustawiamy równanie sumy momentów względem krawędzi e₂e'₂ (rys. 9-9b) wszystkich sił działających na jego ściany zewnętrzne

Sdz

M_(e2) = 0; r_xzbdzdx—T_zxbdxdz + dabdz~Y- = 0,