0153

155

§ 1. Długość krzywej

krzywej łańcuchowej i ma w tym punkcie punkt zwrotu (rys. 12). Rugując z dwu równań zmienną <x, znajdujemy równanie tej krzywej, zwanej traktrysą, we współrzędnych kartezjańskich

x = i. £aln    —2^ — ]/o²—y²j

łatwo wynika, że dla tej ewolwenty jest t = a. Jest to ważna własność traktrysy, którą można wysłowić następująco: odcinek stycznej do traktrysy ma wartość stalą (‘).

Wynik ten również łatwo otrzymuje się bezpośrednio z własności linii łańcuchowej [patrz 1) i rys. 9],

Ze wzoru na styczną [230, (4)]

332. Równania naturalne krzywej płaskiej. Przedstawienie krzywej za pomocą równania wiążącego współrzędne jej punktów (względem jakiegoś układu współrzędnych), pomimo swej pożyteczności, ma często charakter sztuczny, bo współrzędne nie są przecież istotnymi geometrycznymi elementami krzywej. Na odwrót, elementami istotnymi są długość łuku, liczona od pewnego punktu początkowego w określonym kierunku, i promień krzywizny R (lub też krzywizna k = 1 jR) [patrz 250, 251].

Dla każdej krzywej można znaleźć zależność postaci

F (s, R) = 0

między tymi elementami, tzn. długością łuku s i promieniem krzywizny R. Zależność tę nazywamy równaniem naturalnym krzywej (²).

Udowodnimy, że krzywe o tym samym równaniu naturalnym mogą się różnić tylko położeniem na płaszczyźnie, tak że kształt krzywej jest przez równanie naturalne określony jednoznacznie.

Niech dwie krzywe (I) i (II) mają to samo równanie naturalne, które napiszemy w postaci

04)

Aby udowodnić przystawanie tych krzywych, przesuwamy najpierw jedną z nich tak, żeby pokryły się punkty, od których liczymy długości łuku. Następnie jedną z tych krzywych obracamy tak, żeby pokryły się dodatnie kierunki stycznych do obu krzywych w tym punkcie. Wskaźnikami (1 i 2) zaznaczamy, której z obu tych krzywych dotyczą następujące wielkości, odpowiadające tej samej wartości parametru s: współrzędne punktów bieżących: (jc^j,) i (x₂,>’₂): kąty stycznych z osią r: a, ia₂; promienie krzywizny R_l i R₂-

(‘) Z tą własnością związana jest właśnie nazwa tej krzywej, pochodząca od łacińskiego słowa trahere-ciągnąć, wlec: jeśli poruszający się po linii poziomej punkt T „ciągnie” na nitce TM za sobą punkt M, to punkt M opisuje traktrysę.

(²) Jest to przekład nazwy niemieckiej natiirliche Cleichung; równie wymowna jest nazwa francuska eąuation intrinseąue (tzn. równanie wewnętrzne).