0179

181

§ 2. Pole i objętość

Przyjmujemy, że podstawą walca jest kolo o promieniu a:

x²+y² < a² ,

i że płaszczyzna tnąca przechodzi przez średnicę AA' i tworzy kąt * z płaszczyzną podstawy. Znajdziemy najpierw pole przekroju rozpatrywanej bryły płaszczyzną prostopadłą do osi x i przecinającą ją w punkcie M (x). Przekrój ten jest trójkątem prostokątnym MNP i jego pole wynosi oczywiście

|/» (ar)| = jy²tgai = ±(a²-x²) tg ot.

a więc ze wzoru (15) otrzymujemy

a

\V\ = |tg« I {a²-x²) dx = 4 a³ *6 « = 4    •

2    «    3    3

gdzie h — KL oznacza wysokość odcinka walca.

Warto zauważyć, że tę samą objętość można otrzymać zamieniając rolami osie x i y, tzn. rozcinając bryłę płaszczyznami prostopadłymi do osi y (rys. 31). Przekrój taką płaszczyzną przechodzącą przez punkt M o rzędnej y jest prostokątem SQ, którego pole wynosi

1^*(y)| = 2xy tg ar = 2 tg cc-y ]/a²—y² .

Ze wzoru (15) otrzymujemy analogicznie

I V\ = 2 tg a J y /a²—y² dy = y tg a (a² ~y²)^3/2|° = y a³ tg & .

9) Znaleźć objętość elipsoidy trójosiowej (rys. 32) określonej równaniem

1.

Płaszczyzna prostopadła do osi x i przechodząca przez punkt M (x), leżący na tej osi, przecina elipsoidę wzdłuż elipsy; równanie rzutu tej elipsy (bez deformacji) na płaszczyznę yz jest następujące:

b¹

(x = const).