0223

§ 1. Wstęp

225

jest oczywiście równa

A* = ca_l + ca₂+ ... +ca_n = c(a₁+a₂ + ... +a„) = cA_n

i ma granicę cA.

4° Dwa szeregi zbieżne

A = fli + fl2+ ... +(!,+ ... i B — Jj+ijł ... + 6_B + ...

można dodawać (lub odejmować) wyraz za wyrazem, tak że szereg

(ai±bi)+(a₂±b₂)+ ... +(a_n±b„)+ ...

jest także zbieżny i jego suma jest równa A±B.

Jeśli A„, B„ i C_n oznaczają sumy częściowe wspomnianych szeregów, to jest oczywiście

Cn = («l±£l) + («2±*2) + — +(an±b«) =

= (a₂+a₂+ ... +aj)±(b_l + b₂+ ... +b_n) = A„±B_n.

Przechodząc do granicy otrzymamy Hm C„ = lim v4„+lim B„, co dowodzi naszego twierdzenia.

Na zakończenie dodamy jeszcze jedną uwagę,

5° Wyraz ogólny a_n szeregu zbieżnego dąży do zera.

Można to udowodnić zupełnie elementarnie: skoro A„, a wraz z tym A_ir-₁, mają skończoną granicę A, to

a„ — A_h A_m-i —► 0.

Poprzednie twierdzenie zawiera warunek konieczny zbieżności szeregu, z warunku tego będziemy często korzystali. Jeżeli warunek ten nie jest spełniony, to szereg na pewno jest rozbieżny. Należy jednak podkreślić, że sam ten warunek nie jest dostateczny dla zbieżności szeregu. Innymi słowy: nawet, gdy warunek ten jest spełniony, szereg może być rozbieżny. Jako przykład mogą służyć szeregi

rozpatrywane wyżej [363, 3) i 6)], wiele innych przykładów tego rodzaju znajdzie czytelnik dalej.

§ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich

365. Warunek zbieżności szeregu o wyrazach dodatnich. Zajmiemy się teraz ustaleniem warunków zbieżności lub rozbieżności szeregu. Zagadnienie to rostrzyga się najłatwiej dla szeregów, których wyrazy są nieujemne, będziemy takie szeregi nazywali krótko dodatnimi.

15 Rachunek różniczkowy