126

126

Odpowiedzi i wskazówki

jest funkcją rzeczywistą.

2.4.14. p_k — Pr(X = k), k = 0,±1,±2,..., <p_x(t) = ^&UkPk — 9t(l)(^f + 27tn), gdzie

k=—oo

n - całkowita.

2.4.15.    i^^wW = E((-l)*A'^te-^lX), y/W (s) ^ = (-1)*EX*.

2.4.16.    \if(s) = X/(s + X).

2.4.17.    i/f(s) = 1 — se^-1'.

3.1.1.    Pr(X ^ 3/4) ^ 2/3, Pr(X > 3/4) = 1/4.

i

3.1.2.    Pr(X < 3) ^ 1 - — = - .

3.1.3.    Niech Y = X_{ + X₂ + X₃ + X_Ą. Wtedy Pr (0 < X, +X₂ +X₃ +X_Ą < 8) =

D ²Y

Pr(—4 < T — EP < 4) = Pr (|T — ET| < 4) ^ 1--—=0.75.

3.1.4. EX = 5, D²X = 2.5, Pr(X ^ 8) < 5/8,

Pr(3 < X < 7) = Pr(|X - 5| < 2) ^ 1 - 2.5/4 = 0.375.

3.1.5. EX = 1 /60, D²X

77IOO = 7^. Ponieważ Pr(|X — 1/60 ^ a) ^ 0.15 =

6 6    36    36a²

to a =

500-100 36 0.15

:9.62.

3.1.6.    EN = n/2, D²N = n/4, Pr(|Al - n/2\ ^ n/8) ^ 16/n < 1/160.

Stąd 16-160 = 2560.

3.1.7.    EN = 200, D²N = 150, Pr(|7V-200| < 50) ^ 1 - 150/50² = 0.94.

3.1.8.    Pr(|X —EA"| < na) > 1 -    = 1 - -L . Dla X ~ N(m, er) mamy Pr(|X-EX| <

na) = 2<f>(n) - 1, skąd 2$(3) - 1 > 0.99, 24>(4) - 1 > 0.9999, 2$(5) -lwi.

3.1.9.    Tak.

3.1.10.    Tak.

3.1.11.    Tak.

3.1.12. Nie, bo

1    «    1 ⁿ h-2    1    «    1

lim — y, D²^. = lim -= Y' —= > lim -= Y^k =

n—*00 yi*. £-~i x _n—>00    z—/ , //,    _n—*00 yjZ z—/    9

k= 1    " k=\ ^    " *=1

3.2.1. Niech Al - liczba wygranych, p - prawdopodobieństwo wygranej,

n—>00 Yi'

n—+cx> yi

Pr(iV>60) = Pr(^>₃^ 0.0681.

\3VSJ

1 -$(1.49) w 1 -0.9319 =