672581036

jest funkcją prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej.

Uwaga 0.4.1 Ciąg {px(i)} wyznacza funkcję prawdopodobieństwa Px na Z poprzez równość:

Px(A) = Y,p_x(i)

i€A

określoną dla każdego ACZ. Parę (Z,Px) nazywamy kanoniczną przestrzenią probabilistyczną zmiennej X.

Przykład 0.4.1 (Rozkład hipergeometryczny). W urnie jest M czerwonych i N czarnych kul. Wyciągamy n kul. Niech R oznacza ilość czerwonych kul spośród n wyciągniętych kul. Wtedy

(^M)(^N)

_PR(r) = P(R = r) = ±ą=d

dla r = 0,n . Pozostałe wartości pn(r) przyjmujemy, że są równe 0.

0.4.2 Przybliżenie rozkładu dwumianowego

Przykład 0.4.2 (Rozkład Poissona). Niech dla A > 0 P\(i) = e^_A^j-

dla i = 0,1,poza tym 0. Ciąg ten ma własności funkcji prawdopodobieństwa. Nazywamy go rozkładem Poissona z parametrem A.

Rozkład Poissona odgrywa ważną rolę jako przybliżenie innych rozkładów.

Przykład 0.4.3 Niech S_n oznacza liczbę sukcesów w n próbach Bernoulliego, przy czym załóżmy, że prawdopodobieństwo sukcesu w n próbach równa się _Pn (może zmieniać się wraz z ilością prób). Wtedy wiadomo, że P(S_n = k) = (£)p£(l - Pn)ⁿ~^k■ Jeśli np„ —> A > 0, to P(S_n = k) —* p\(k) przy n —* oo, dla każdego k € N.

Rozkład Poissona stanowi dobre przybliżenie rozkładu dwumianowego, o małym prawdopodobieństwie sukcesu, ale o dużej ilości prób, przy czym pn = A.

0.4.3 Gęstości i dystrybuanty

Definicja 0.4.3 Zmienna losowa X ma rozkład (absolutnie) ciągły o gęstości fx'R—*R gdy

P{a < X < fc) = J^l fx(y)dy dla każdego a < b £ R.

Oczywiście fx(x)dx = 1, zawsze pole pod wykresem gęstości równa się 1.

Uwaga 0.4.2 Dla każdej funkcji f nieujemnej, rzeczywistej, takiej, że f(x)dx = 1,istnieje zmienna losowa taka, że f jest jej gęstością prawdopodobieństwa.

10