0393

395

§ 3. Zastosowania

Skorzystaliśmy tu najpierw z twierdzenia Abela, a potem całkowaliśmy szereg potęgowy wyraz za wyrazem [437, 6°; 438, 7°].

2) Całkując wyraz za wyrazem szeregi

—L- = 1-JT+JC²- ... +(-l)*-¹jt—^,+ ...,

l+x

—¹—- = l-x*+x*~ ... +(-l)"-¹ x^2<"-‘>+ ... l+JC²

f *	= In (l+x) = x—4r~ +
J 1+* 0	2 3
X
	X^3 X^5 = arc tg x = x--- 4---
J l+x^2 c	3 5

w przedziale <0, x> (gdzie |jc| < 1) od razu otrzymujemy rozwinięcie

,. +(—ly-¹ £-+ ....

+(-D—

2/i-ł

4- ...,

które w 405 [patrz (17) i 404, patrz (15)] były otrzymane, w sposób bardziej zawiły. Słuszność pierwszego rozwinięcia dla x — li drugiego dla x = ±1 należy udowodnić dodatkowo za pomocą twierdzenia Abela

[437,6°].

3) Gdy przypomnimy sobie, że pochodna funkcji arc sin x, równa

, rozwija się w szereg

1

[407 24)]

(-1 < x < 1),

1    , , y (2/i-D!!

]/T^    (2»)!!

wówczas całkując ten szereg wyraz za wyrazem otrzymamy łatwo nowe dla nas rozwinięcie samej funkcji arcus sinus:

/

dx

|/l-j

= arc sin

oo

in x = x+ ^

(2/i—1)!! (2/»)!!

2/1+1

(-!<*< 1).

Ponieważ szereg ten jest zbieżny również dla x = ±1 [370,5), (a)](‘), więc z twierdzenia Abela wynika, że rozwinięcie jest słuszne również dla tych wartości. W szczególności otrzymamy dla liczby ir szereg

1₊ V (2//—1)!!    1

2 Z-i (2//)!!    2//+1 '

■-1

(') Między innymi zbieżność szeregu 1+ ^

(2/i—1)!!    1

Mamy dla dowolnego m

(2/i)!!    2//+1

można teraz udowodnić prościej.

(In— IV    r²" + ^l    I

^{M ■ —-< arc sin x < 4-TT.

(2/i)!!    2/i+l    2

m V	(2/1-1)!!	^1 < ‘ir
•—i	(2/i)!!	2/1+1 " 2 "

x+

Przechodząc do granicy, gdy x -*■1, otrzymamy

1 +

skąd [365] otrzymujemy żądany wynik.