0031

33

§ 2. Całkowanie funkcji wymiernych

Jeśli przyjrzeć się tym funkcjom, za pomocą których wyrażają się całki wielomianów i ułamków właściwych, to można sformułować wynik ten dokładniej:

Całka dowolnej funkcji wymiernej wyraża się w postaci skończonej przez funkcję wymierną, logarytm i arcus tangens.

Wracając do rozpatrzonego powyżej przykładu i przypominając sobie wzory z ustępu 273 otrzymujemy

/

2x²+2x+13 (Jc—2) (jc^a + l)²

1

x-2

<łx- f -

J X

x+2 x² + l

^dx~f

3x+4

(x²+l)²

dx =

2

3-4* x² + l

+ — ln (^x -f)--4arctgx+C.

2 x²+l

276. Wydzielenie części wymiernej całki. Istnieje sposób podany przez M. W. Ostro-gradskiego, za pomocą którego obliczanie całki wymiernego ułamka właściwego znacznie się upraszcza. Sposób ten pozwala drogą czysto algebraiczną wydzielić część wymierną całki.

Widzieliśmy [273], że składniki wymierne całki otrzymujemy przy całkowaniu ułamków prostych postaci II i IV. W pierwszym przypadku całkę można napisać od razu

(7)

f (x — a)^{k dX} k-1

a)^k    k—1    (x — a)*^-1

Zbadajmy teraz, jaką postać ma część wymierna całki

Mx + N

+ C.

I

(x² + px + q)"

■dx (m > 1, q— p² > 0)

Stosując znane nam już podstawienie x+-₂~p = t wykorzystujemy równości (1), (2)iwzór redukcyjny (6) z ustępu 271 dla n = m— 1. Gdy wrócimy do zmiennej x, otrzymamy

/

Mx+N (x²+px + qy

dx =

M'x+N'

(x²+px + q)^m_1

+

^a/

dx

(x²+px + q)^m~^l ’

gdzie M', N' i a oznaczają pewne współczynniki stałe. Na mocy tego samego wzoru zastępując m przez m— 1, otrzymujemy dla ostatniej całki (jeśli m > 2)

f

a dx

M"x+N'

dx

(x² + px+q)^m~^l (x² + px + q)^m

(x² + px+q)^m~²

itd., dopóki nie sprowadzimy wykładnika potęgi trójmianu x² +px + q w całce po prawej stronie do jedności. Wszystkie wydzielane kolejno wyrazy są ułamkami właściwymi. Łącząc je razem otrzymamy wynik w postaci następującej:

Mx + N    ,    R(x) . , r dx

(8)

/

(x² + px + q)^m

dx

(x² + px + qT

+ A

h

+ px + q

gdzie R (x) jest wielomianem stopnia niższego niż mianownik ('), a l jest stałą.

(\) Patrz odsyłacz na str. 32.

3 Rachunek różniczkowy