063

matematiky, napr. v geometrii; od L. Eulera podłazi oznaćeni „i“ pro imaginarni jednotku. Definitivne ztratila komplexni dsła svou „taju-plnost“ zejinena diky pradm Carla Friedricha Gausse (1777 1855), ktery zavedl geometricke znazorneni komplexnich dsel jako bodu ro-viny. Jak uź jsme se zminili v ćlanku 3.3, Gauss take dokazal tzv. zakladni vetu algebry: Każda algebraicka rovnice ma v oboru koin-plexnich cisel aspoń jeden koren. Pomoci teto vety lze odvodit,, że każda algebraicka rovniće n-teho stupne ma v oboru komplexnich d-sel prave n korenu, jestliże każdy koren podtame tolikrat, kolik je jeho nasobnost.

Videli jsme tak, że pro linearni, kvadratickou i kubickou rovnici existuji vzorce, ktere umożnuji z koeficientu techto rovnic pomoci sci-tani, nasobeni, umocńovani a odmocńovani urćit vsechny jejich kom-plexni koreny. Tento fakt plati i pro rovnici ćtvrteho stupne, neplati vsak pro żadnou rovnici stupne yyśśiho. Toto tvrzeni dokazali ve svych pradch norsky matematik Niels Henńk Abel (1802-1829) a francouz-sky matematik Evariste Galois (1811 -1832). Dejte vśak pozor: z toho, że neexistuje obecny vzorec pro reseni algebraickych rovnic stupne aspoń pateho, neplyne, że nelze najit koreny nekterych specialnich typu techto rovnic - jako priklad stad uvest rovnice binomicke, ktere umime reśit, at’ maji jakkoli vysoky stupen.

Je pozoruhodne, jak tyto poznat.ky o reseni rovnic umożnily zod-povedet otazku, ktera s tim zdalnive vubec nesouvisi, a to, ktere geometricke konstrukce lze provest euklidovsky, tj. pouze pomoci pravitka a krużitka. Napadło vas nekdy, ktere pravidelne n-uhelniky jsou eukli-dovsky sestrojitelne? Lze pouze pomoci pravit.ka a krużitka sestrojit pravidelny sedmiuhelnik a pravidelny sedmnactiuhelnik? Tyto otazky zodpovedel Gauss jiż v roce 1801, kdyż dokazal, że euklidovsky sestrojitelne jsou prave ty pravidelne n-uhelniky, pro neż lze dslo n vyjadfit ve tvaru

n = 2^kpip-₂ ■■■Pm,

kde k je cele nezaporne a pi, p-2, ..., p_m jsou navzajem ruzna prvodsla tvaru 2^r + 1, r prirozene. Mużete si tedy snadno overit., że pravidelny sedmnactiuhelnik je euklidovsky sestrojitelny [je totiż 17 - 2°(2⁴ -I-1)], ale pravidelny sedmiuhelnik nikoli. Mate-li zajem, mużete si rovneż overit, że pro n ^ 100 jsou cuklidovsky sestrojitelne pravidelne n-uhelniky prave pro tato n: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, ló, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40. 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85 a 96.

V 19. stoleti była takć dana odpovćd’ na tri proslule anticke ulohy, ktere do te doby odolavaly v§em pokusum o reseni. Jde o tyto ulohy: kruźitkem a pravitkem rozdolit libovolny uhel na tri shodne ćasti (tri-sekce uhlu), kruźitkem a pravitkem sestrojit ćtverec, ktery ma stejny obsah jako dany kruh (kvadratura kruhu), a kruźitkem a pravitkem sestrojit takovou usecku, aby krychle s touto hranou mola dvojnasobny objem neź dana krychle (reduplikace krychle). O vsech tócht.o ulohach było dokazano, źe je nelze provest kruźitkem a pravitkem, tj. źe jsou euklidovsky nefeśitelne. Poznamenejme jeśte, źe navzdory tomuto vy-sledku se i dncs obćas najdou jcdinci, kteri se trisekci uhlu, kvadraturu kruhu ći reduplikaci krychle snaźi provest!

Videli jsme, źe komplexni ćisla była zpryu pfijimana opatrne a s jistou neduverou; G. W. Leibniz v nich spat.rova.l „utoćiśte boź-skeho ducha, jakysi stav mezi bytim a nebytim“. Trvalo nekolik stale-ti, neź se matematikove presvedćili, źe komplexni cisla jsou vhodnym a neobycejne ucinnym nastrojem pro reseni problemu, a to nejen cisto teorctickych. Dnes jsou komplexni ćisla neodmyslitelnou soućasti matematiky a pomahaji reźit i mnohe ulohy z technicke praxe (elektrotechnika, hydromechanika apod.).

125