1142

Tablica 8.5. Obliczenia dla potrzeb średniego błędu

t	y,	y		*?
1	2	3	4	s
1	138	130,8	(138- 130,8) = 7,2	51,84
2	116	122,9	(116 -122,9) = -6.9	47,61
3	112	115,0	(112-115) =-3	9
4	105	107,1	(105-107,1) = -2.1	4.41
5	104	99,2	(104 -99,2) = 4.8	23,04
Z * 15	Z-575	X	X	1=135,9

Źródło: obliczenia własne na podstawie danych z tablicy 8.3.

W tablicy 8.5 zostały wykonane obliczenia niezbędne do wyznaczenia średniego błędu resztowego. Kolumna pierwsza i druga została przeniesiona z tablicy 8.4. Kolumna trzecia zawiera wielkości teoretyczne wynikające z funkcji trendu tzn. do równania funkcji podstawione zostały kolejne wielkości zmiennej / =1,2,...5, np. w okresie t - 1 wartość teoretyczna została wyznaczona w następujący sposób: y_x = -7,9 1 + 138,7 = 130,8. Kolumna czwarta oznaczona przez e, powstała z różnicy kolumny drugiej i trzeciej, natomiast w kolumnie piątej oznaczonej przez e,² wartości e, zostały podniesione do kwadratu. Po wykonaniu tych obliczeń możemy wyznaczyć średni błąd resztowy:

S(e,) =    = -y/45^3 =6,7 min ton

Średni błąd resztowy informuje, o ile przeciętnie mylimy się wyznaczając teoretyczne wartości badanego zjawiska na podstawie głównej tendencji rozwojowej (trendu).

8.2. SZEREG CZASOWY Z TRENDEM I SEZONOWOŚCIĄ

W poprzedniej części tego rozdziału mówiliśmy o szeregu czasowym, w którym występował trend i wahania przypadkowa. Jak wykazaliśmy, jedną z najważniejszych miar badania zmienności zjawiska w czasie jest trend. Wyraża on ogólną tendencję rozwojową zjawiska. Najczęściej dokonuje się wygładzania szeregu czasowego, które polega na wyodrębnieniu elementu charakteryzującego trend (np. poprzez wyznaczenie funkcji trendu). Uzyskuje się to przez eliminację z szeregu w'ahań okresowych i przypadkowych. Wahania okresowe są to zmiany, powtarzające się mniej więcej w tych samych rozmiarach, co pewien okres. Odstępy czasu, w którym występują wszystkie fazy wahań określa się mianem cyklu. Wyróżniamy wahania:

•    krótkookresowe (zwykle wahania związane z sezonowością),

•    długookresowe (np.: koniunkturalne).

Kolejnym celem analizy szeregu czasowego może być jego dekompozycja. Polega ona na wyodrębnieniu wszystkich możliwych elementów szeregu czasowego. Zwykle dąży się do eliminacji wahań i znalezienia tendencji rozwojowej. Do najczęściej stosowanych metod w tym zakresie należą:

•    metoda mechaniczna, wykorzystująca średnie ruchome,

•    metoda analityczna, polegająca na dopasowaniu oszacowania parametrów równania funkcji opisującej dany szereg czasowy.

Korzystając z metody średnich ruchomych, mamy możliwość doprowadzenia do wygładzania szeregu czasowego przez częściowe eliminowanie wahań zarówno okresowych, jak i przypadkowych. Dzięki porównaniu pierwotnego szeregu czasowego z szeregiem wyrównanym będzie możliwa z kolei konstrukcja wskaźników' sezonowości mierzących wahania okresowe (sezonowe). Technika wyrównywania szeregu tą metodą, polega na zastąpieniu wartości empirycznych zmiennej prognozowanej (wartości cechy) średnimi arytmetycznymi obliczanymi sekwencyjnie dla wybranej liczby obserwacji. Średnie ruchome obliczamy zazwyczaj z określonej liczby sąsiadujących ze sobą wyrazów' szeregu, tak aby uzyskany wynik móc przyporządkować całkowitej wartości (znajdującej się w- środku uwzględnionego w obliczeniach przedziału. Np. średnia mchoma czterech okresów' reprezentujących kolejne kwartały prezentuje się następująco:

Wygładzając szereg metodą średnich ruchomych, otrzymujemy szereg skrócony. Musimy bowiem pamiętać, że przyporządkowanie otrzymanej średniej przypada zawsze na okres środkowy, zatem liczba wyrazów średniej ruchomej czyli tzw. stałej wygładzania, zależy od decyzji osoby prognozującej. Wraz ze wzrostem wartości stałej wygładzania, rośnie efekt wyrów-nania. Średnia ruchoma, która wyznaczona jest z większej liczby wyrazów, „silniej” wygładza szereg, lecz jednocześnie w^rolnicj reaguje na wahania poziomu badanej cechy. Określona na podstawce mniejszej liczby wyrazów' średnia ruchoma zachowa się dokładnie odwrotnie. Będzie szybciej odzwierciedlała aktualne zmiany zachodzące w wartościach badanej cechy, ale większy wpływ będą wywierały na nią, wahania przypadkowe. Wybór liczby wyrazów średniej ruchomej musi stanow-ić kompromis między tymi czynnikami. Jest jeszcze jedna rzecz, o której wypada pamiętać stosując metodę średniej ruchomej. Jedną z jej wad jest potrzeba przetworzenia często dużej liczby danych.

Wygładzając szereg czasowy w sposób analityczny konieczne jest oszacowanie parametrów funkcji trendu. Nie jest to zadanie łatwe, gdyż na samym początku trzeba zbudować odpowiedni model formalny, którego zmiennymi objaśniającymi są zmienne czasowe. Podczas budowy modelu przeprowadza się dekompozycję szeregu czasowego. Następnie, w zależności od przyjętych założeń od-

223