wymagania7 bmp

94

Rozpatrzmy warstwę cylindryczną odległą od osi mry o promień r, który może się zmieniać od zera do R (R jest promieniem wewnętrznym rury).

Jeśli na przekrój kołowy cieczy wywierane jest ciśnienie p, to siła działająca jest równa

F = rtr²p    (2.65)

Podczas mchu cieczy na skutek tarcia działająca siła F ulega zmniejszeniu o AF = itr²A/; na długości mry l i jest proporcjonalna do wielkości powierzchni bocznej, w tym przypadku 2ttr/ (odpowiednik q w równaniu 2.56) oraz do wielkości dw/dr (w poprzednim wzorze w/l). Współczynnikiem proporcjonalności jest Tl. Ostatecznie jako odpowiednik wzotu (2.64) mamy

AF=ri(2itrO^-^j    (2.66)

Z porównania prawych stron równań (2.65) i (2.66) wynika

nr^&p^-nlnrl^    (2.67)

Wstawienie znaku minus z prawej strony równań (2.66) i (2.67) jest konieczne, aby uzyskać dodatnią wartość F i AF, gdyż wartość dw/dr jest ujemna (prędkość przepływu warstwy maleje ze wzrostem odległości od osi mry). Po podzieleniu prawej i lewej strony równania (2.67) przez nr i rozwiązaniu względem dw

dw = -^dr    (2.68)

2T\l

Aby uzyskać wzór na prędkość cieczy w dowolnym miejscu rury, równanie (2.68) należy scałkować

w    r

skąd

(2.70)

Z warstwy cylindrycznej o promieniu r i grubości dr w czasie t wypływa ciecz o objętości V

(2.71)

dV = wł2nr dr

Z równań (2.70) i (2.71) otrzymujemy

(2.72)

dV = ^f(R²r-r²r)dr

Całkując to wyrażenie w granicach od 0 do R, otrzymamy objętość cieczy Vprzepływającej przez cały poprzeczny przekrój rury w czasie t

(2.73)

(2.74)

_Vml

211/ I 2    4

Po uproszczeniu:

(2.75)

Równanie (2.75) nosi nazwę wzoru Poiseuilłe’a. Posługując się nim można z objętości cieczy wypływającej z rurki o danym promieniu R i długości / obliczyć lepkość cieczy u

7t/?⁴rAp ¹¹" 8 W

(2.76)

W związku z tym, że promień kapilary nie jest stały na całej długości rurki, wskazane jest wykonanie pomiaru lepkości cieczy w danym wiskozymetrze w porównaniu z cieczą wzorcową, której lepkość została już kiedyś wyznaczona i zamieszczona w tablicach.

Zapiszmy wzór PoiseuiIle’a dla cieczy badanej (indeks x) i dla cieczy wzorcowej (indeks w). Mamy wówczas

^ 8Vi	(2.77)
^ł1“'^_ 8V7	(2.78)

Dzieląc te równania stronami otrzymujemy

(2.79)

*\x _

TU Apw*w