img481

Reklamę będzie widać najlepiej z tego miejsca, w którym kąt y będzie najwięk szy, a będzie się tak działo, gdy największy będzie tangens tego kąta (dlacze go?). Korzystając ze wzoru trygonometrycznego na tangens różnicy kątów, przeprowadzamy następujące obliczenia:

tg Y = tg (a - 0)

tg a - tg /?

1 + tg a • tg fi '

Ale tg a = -, a tg /3 = -, zatem

X    X

tg y^:

1 +

2x

7 5 x² + 35 x x

2x

przyjmuje wartość najwięk-

Należy więc zbadać, kiedy funkcja /(x) =

x² + 35

szą. Zauważmy, że x e (O, +oo), a więc D_f - (O, +oo). Funkcja jest ciągła w swojej dziedzinie i ponadto mamy - 2x² + 70

f'(x)

Wtedy

f'{x) = 0<=>

(x² + 35)²

2x² + 70

D_f = D_f.

(x² + 35)^;

= O a x e (O, +co)

<=> x = V35 .

X->+00 ■

Mamy dalej f{^35) = oraz Jim /(x) =^lim^/(x) = O, więc największą

wartość funkcja przyjmuje dla x = V35 .

Należy zatem stanąć w odległości ok. 6 m od ściany.

PRZYKIAD 13.

Ola jakiej wartości parametru m (m e R) suma dwóch różnych pierwiastków tównania (m² - 1 )x² - 2x + -^ = O jest największa?

Najpierw zauważmy, że musi być

m² - 1*0 i A - 4 - (m² - 1) >0,

co zachodzi dla m e (-V5, -1) u (-1, 1) u (1, V5). Ze wzorów Viete'a wynika,

2

1

m^c

że jeżeli Xi i x₂ są pierwiastkami tego równania, to + x₂ = —-—7-. Należy więc znaleźć największą wartość funkcji

f(m) =

m² - 1

w

zbiorze Dy = (-V5, -1) u (-1, 1) u (1, V5).

firn)

Funkcja jest ciągła w swojej dziedzinie oraz - 4 m

(m² - 1)^;

D_r - D_f