img048 (35)

53

53

nterpre-

danego

geome-

zecięcia

(3.53)

/m przy-su funkio w tym ). Liczba ■ównania tetryczną ymanego instrukcji dzie jako ania F(-), m

:ystaniem

Rys. 3.10. Przykład iteracji rozbieżnych

(3.54)

ji prostej

i każdego

*

x .

tałym od-l wyboru i przypad-y zgodnie

nie jest w którym

*(o) * ^x )■ ej nie pro-10 rozwią-

Przykład 3.3

Jeszcze prostszy przykład, w którym ciąg otrzymany zgodnie z formułą algorytmu iteracji prostej jest zawsze rozbieżny, z wyjątkiem przypadku x₍₀) = x , otrzymuje się analizując równanie

x = 2x, reR.    (3.55)

W tym przykładzie F(x)=2x, x e R , x = 0 (rys. 3.10).

Algorytm iteracji prostej prowadzi do iteracji rozbieżnych w przypadku zastosowania go do wyznaczania rozwiązania dowolnego równania liniowego postaci x = a-x , gdzie a jest liczbą rzeczywistą większą od 1. Dla każdego punktu początkowego X(p) ^ x = 0 ciąg otrzymany z wykorzystaniem algorytmu iteracji prostej jest tu rozbieżny. Punkt x = 0 jest punktem idpychającym dla iteracji, dla każdego x₍₀)    .

Przykład 3.4

Odwzorowanie F(-): R —> R dane jest wykresem przedstawionym na rys. 3.11. Wykres odwzorowania F(-) przecina wykres prostej y = x w pięciu punktach. Odcięte punktów przecięcia są współrzędnymi punktów stałych xⁿ, x^Hi, x*^m, x^łIV, xⁿ odwzorowania F(-).

Rys. 3.11. Przykład ilustrujący przebieg iteracji    Rys. 3.12. Przebieg iteracji prostych

prostych dla przypadku, gdy odwzorowanie    odnoszących się do równania x = G(x),

F(-) ma więcej niż jeden punkt stały    w którym G(x) =F~'(x), dla funkcji F(-) okre

ślonej wykresem na rys. 3.11

Jak wynika z analizy geometrycznej przebiegu iteracji prostych, punkty x ', x ¹¹ i x ^v są punktami przyciągającymi dla iteracji. Dla każdego punktu początkowego x₍₀) dla iteracji