img050 (26)

55

55

¹¹ lub x*^v racji pro-

: punktów ikiegokol-

lem metod dązań bez e jest roz-

niem

(3.56)

e odwzoro-nptotycznie ni odpycha-teraz punk-a równania

icji wyjścio-adzić będzie iowego, o ile m otoczeniu iowego będą fikowanego.

j obejmujące

(3.57)

miami. Układ

i    , X2 , * ' ' ? X_n .

(3.58)

(3.61)

Punkty e R" spełniające równanie (3.58) są określane jako punkty stałe odwzorowania F t. Odwzorowanie F{-) przekształca punkty w R" będące jego punktami stałymi na siebie, r.:e zmieniając ich położenia w przestrzeni R". Zbiór punktów stałych odwzorowania F{-) est oznaczany przez S_F .

Każdy układ równań algebraicznych w R" postaci

/(*) = 0 ,    (3.59)

zżzic /(■):R"5^/(x)eR" , może być sprowadzony do postaci równoważnej (3.58) rurrzez następujące przekształcenie. Definiuje się odwzorowanie F(-) wzorem

f(-):F(x)=x-M(x)-/(x),    (3.60)

gizie M(-) jest macierzą funkcyjną o wymiarze nxn . Elementami macierzy M(-) są funk-. e zmiennej x przyjmujące wartości w R. Odnośnie do macierzy M(x) zakłada się, że jest BEa macierzą nieosobliwą dla każdego x e S*_F .

Macierz M(x) ma ogólnie postać

	~MX i(x)	Mn{x) •	• M,„(x)-
Af(x) =	^M2 l(x)	M22{x) ■	■ M2n{x)
	Mn i(x)	M„2{x) ■	■ ^Mnni^X)_

W,_y( ):R’^! ).v M_ij(x)e R . Odwzorowanie M(-) jest odwzorowaniem przestrzeni

^:    w R” , /V/(-): R” 3 ,v -> /V/(.v)g Ii" , gdzie macierz M(x) jest rozważana jako wek-

acr o >r współrzędnych My (x), i,j = \,2,---,n, uporządkowanych wierszami.

Dla odwzorowania F(-) zdefiniowanego wzorem (3.60) odpowiadające jemu równanie 5.58) przyjmuje postać

x = x-M(.v)-/(.v).    (3.62)

S rtrudno zauważyć, że równania (3.59) i (3.62) są sobie równoważne w tym sensie, że ®ają one ten sam zbiór rozwiązań. Istotnie, niech punkt x* będzie rozwiązaniem równania 3,59) (mówi się wtedy, że x jest pierwiastkiem równania (3.59)). Wtedy

f(x*)= x*-m(x*)-/(x*)= x* ,    (3.63)

x *ięc x* jest punktem stałym odwzorowania F(-) danego ogólnie wzorem (3.60), dla do-: mej macierzy funkcyjnej M(-). I odwrotnie, jeżeli punkt x jest punktem stałym odwzo-■ -.aniaF(-) danego wzorem (3.60), to

x* =x*-m(x*)-/(x*),    (3.64)

.: ma miejsce wtedy i tylko wtedy, wobec założenia zapewniającego nieosobliwość macie-

~ W**), gdy