img056 (28)

61

61

eracji prostej .tkowego x₍o).

(3.69)

la uogólnienie

itza 0 < L < 1. .ego może być

(3.70)

xanie

(3.71)

(3.72)

w zależności od dgorytm o linio-łku odwzorowa-ikość zbieżności przekształcenia innymi nazwami algorytm Newto-

jącego dokładnie 1 zachowywałoby i /manę w wyniku Lipschitza L< 1. c* danego odwzo- | iztałconego zgod-

/yżej wymagania, | a potrzeb związa- I a w ej przekształcę- i adpowiednich cią-lównanie ,v = F(x)

x = .y + m(x)-(.v- /■'(.y)), xeR",    (3.73)

_ m ; 3/( ■) jest nxn -wymiarową macierzą funkcyjną, nieosobliwą dla wszystkich xeR". '•Lónerz funkcyjną M(-) należy ustalić tak, aby zapewnić zbieżność ciągów iterowanych :cm. znanych zgodnie z formułą algorytmu iteracji prostej, dla wszystkich wektorów po-. . • : wych .v₍₀) e R”, dla odwzorowania F(-) przekształconego do postaci

R" 3 x —> x = x + M(x)-(x -F(jc)) .    (3.74)

• :adomo na podstawie twierdzenia 3.3, punkty graniczne zbieżnych ciągów iterowa-r- da otrzymanych zgodnie z formułą rekurencyjną algorytmu iteracji prostej są punktami odwzorowania (3.74), jeżeli tylko odwzorowanie to jest odwzorowaniem ciągłym. - *m:ępnie z założenia, że macierz funkcyjna M{-) jest macierzą nieosobliwą dla wszystkich -- € R . otrzymuje się, że punkt x* e R" jest punktem stałym odwzorowania (3.74) wtedy ibŁ wtedy, gdy x* jest punktem stałym odwzorowania F(-). Znalezienie punktu stałego ■iss zerowania (3.74) jest równoważne wyznaczeniu punktu stałego odwzorowania F(-).

\ eżeli ponadto istnieje taka macierz funkcyjna M(-), że odwzorowanie (3.74) spełnia fflccumy warunek Lipschitza w R", ze stałą L < 1, to można wnioskować, że odwzorowane 3    1 ma dokładnie jeden punkt stały x* i ciągi kolejnych przybliżeń otrzymane zgod

ne z algorytmem iteracji prostej są zbieżne do jedynego punktu stałego x .

Z analizy przyrostu wartości odwzorowania (3.74) występującego po prawej stronie •ttmssr-i 13.73) otrzymuje się dla x'e R" i x" e R" oszacowanie

.r’ - M(x')-(*' - F(x'))- x" - M(x")-{x" - F{x")) | =

= | (m(x')+ /)• x' - M{x')-F(x')-(m(x")+ l)-x" + m(x")-F{x") || <

< | (M(.v')+ /)•*'- (M(x’)+ l)-x" | +1 M(x')-F(x')~ M{x"\ f(x") ||,

:' - / : macza macierz jednostkową.

.*am macierz funkcyjną M(-) można zdefiniować tak, że obydwa odwzorowania

R” 3 x —> (m(x)+ /)• x

R" o x m(x)- F(x)

aanr a globalny warunek Lipschitza w R” z pewnymi stałymi Lipschitza L\ i F, odpo-»'er.: takimi że zachodzi

L_x+L₂< 1,    (3.75)

b arw zerowanie przekształcone (3.74) spełnia założenie twierdzenia Banacha o punkcie Cs- — c -.zerowania zwężającego. Odwzorowanie (3.74) ma w tym przypadku dokładnie eie arna stały .v*, i przy założeniu, że macierz funkcyjna M(-) jest nieosobliwą dla »-m sen: cń x € R’^:, punkt x* jest jednocześnie punktem stałym odwzorowania F(-). Odwzo-nwane F ma dokładnie jeden punkt stały x*. Punkt x jest punktem granicznym wszyst-cci c_c:zerowanych otrzymanych zgodnie z algorytmem iteracji prostej w odniesieniu ■i wyzerowania przekształconego (3.74).