img417 (2)

4

Zadania do ROZDZIAŁU 1........................... ................147

Granica funkcji w punkcie...........................................147

Granica niewłaściwa, granica w nieskończoności, granice jednostronne........149

Granica niewłaściwa funkcji w punkcie...............................149

Granica funkcji w nieskończoności..................................150

Granice jednostronne funkcji w punkcie..............................152

Asymptoty wykresu funkcji..........................................155

Asymptoty pionowe.............................................155

Asymptoty poziome.............................................157

Asymptoty ukośne..............................................158

Asymptoty pionowe, poziome i ukośne..............................159

Ciągłość funkcji...................................................161

Ciągłość funkcji w punkcie........................................161

Ciągłość funkcji w przedziale liczbowym.............................163

Zadania do ROZDZIAŁU 2........................... ................165

Pochodna funkcji w punkcie i w zbiorze................................165

Funkcja pochodna.................................................166

Podstawowe własności pochodnej funkcji............................166

Styczna do wykresu funkcji.......................................167

Zadania do ROZDZIAŁU 3.......................... .................170

Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji.............................170

Ekstrema lokalne funkcji............................................171

Ekstrema globalne funkcji...........................................173

Zadania optymalizacyjne............................................174

Badanie przebiegu zmienności funkcji.................................178

TEST 1. Granica i ciągłość funkcji....................................182

TEST 2. Pochodna funkcji...........................................187

Wskazówki i odpowiedzi do zadań.................................191

Odpowiedzi do zadań do rozdziału 1..................................191

Odpowiedzi do zadań do rozdziału 2..................................197

Odpowiedzi do zadań do rozdziału 3..................................200

Odpowiedzi do testu 1.............................................219

Odpowiedzi do testu 2.............................................219

ROZDZIAŁ 1.

Granica i ciągłość funkcji

1.1. Granica funkcji w punkcie

W klasie drugiej mówiliśmy o ciągach liczbowych nieskończonych i ich granicach. Uzupełnimy teraz i rozszerzymy tamte wiadomości. Przypomnijmy, że ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną w zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Załóżmy, że dane są dwa ciągi (a_n) oraz (b_n), które są zbieżne do zera,

lim a_n = lim b_n = 0. Co można powiedzieć o granicy lim    ?

n >.«) ⁿ n->°o ⁿ    r    n-*°° b_r

A/ażmy następujące przykłady, łśli o_n — b_n — —

1

, to lim ^ = lim -7- = lim 1 - 1.

n n-> co b_n n-»oo 1 n—>co

n

, = —, b_n = l,to lim %?-= lim — lim (-2) —2.

n    n n->°o D_n    1    n-»°°

_1_

“2", b_n — —, to lim ⁼ lim —— — lim 1 = 0.

n^Ł n n-*» b_n "-*<*> 1    o-*⁰⁰ n

n

1

- , b_n = 4r, to lim = lim -7- = lim n = +°o. n n^z n-»°o b_n n-»°o 1    n->°°

1

lim — = lim (-n)=-qo.

.    n—>00 1    n—>co

*n    ¹

n²

H)ⁿ

■ - , b„ = ^=-, to lim ^ = lim -7- -

n    n^z n-x» b_n n-**¹ J_

LII!! t, = 1 _to lim ^ = lim —j-

n    n n-*» b_n p-**    ¹

Z powyższych przykładów wynika, że iloraz dwóch ciągów, z których każdy dąży do zera, może być:

zbieżny (do liczby dodatniej, ujemnej lub do zera), rozbieżny (w szczególności do -t-oo lub 00).