4
4
1 + --1 y 1 + -—1 n V n
1 + -
1_
n
v nJ 1 + 1-1
n
Zastanówmy się, czy istnieje lim f(an). Jeśli n->oo, to licznik i mianownik tego
n—>oo q
ułamka dążą do zera. Powstał symbol nieoznaczony typu Jeżeli jednak prze
kształcimy nasz ułamek, rozszerzając go przez liczbę ]j 1 + - +1, to otrzymamy
f ,_ \f ' n
lim f(an) = lim /
n-»co n-> ooJ
= lim
1 + 1-1
n J
= lim
n—>oo
= lim —
n-»co "|
n
1+1-1
n
1 (—11n
Podobnie można wykazać, że jeżeli bn = 1--oraz c„ = 1 + -——, to również
lim/(bn) = lim /(c„) = 1.
n—>oo n—>oo ^
We wszystkich trzech przypadkach wynik potwierdzają dane z tabel.
Załóżmy teraz, że (x„) jest dowolnym ciągiem o wyrazach xn*1 i xn>1 oraz lim x = 1.
n—>co
n->oo
1
Sprawdźmy, czy w takim ogólnym przypadku otrzymamy równość lim f(xn) = 1.
/)-*» n n-»oo xn — 1 n-»oo (xn_1)(V^ + l) n—>oo a/x^ + 1 2
lim f(xn) = lim 1 = lim - lim
Otrzymaliśmy potwierdzenie naszej hipotezy.
Matematycy mówią w takim przypadku, że przy x dążącym do 1 funkcja / ma granicę równą 1 i zapisują to w następujący sposób:
lim/(*) = l.
Zanim uogólnimy nasze rozważania, przyjmijmy najpierw następujące określenia:
a) Prawostronnym sąsiedztwem o promieniu 6 (fi > O) punktu x0 nazywamy przedział (x0, x0 + <5) i oznaczamy S+(x0) lub Sh(x0, fi).
b) Lewostronnym sąsiedztwem o promieniu fi (fi > O) punktu x0 nazywamy przedział (x0 - fi, x0) i oznaczamy S (x0) lub S (x(), fi).
c) Sąsiedztwem o promieniu fi (fi > O) punktu xu nazywamy zbiór
(Xo fi, X,,) U (Xd, x,i I fi) i o/ii.ii z.imy '.U,) lub ó)._
U) Prawostronnym otoczeniem o promieniu 6 (6 > 0) punktu x0 nazywamy przedział (x0l Xo + 5) i oznaczamy U+(x0) lub U+(xq, ó). c) Lewostronnym otoczeniem o promieniu ó (6 > 0) punktu x0 nazywamy przedział (x0 — <5, Xq) i oznaczamy U_(x0) lub U_(xq, 6). f) Otoczeniem o promieniu ó{ó>0) punktu x0 nazywamy zbiór (x0 -d,x0+ ó) I oznaczamy U(x0) lub U(x0, 8).
Widać, że S(x0) = S_(x0) u S+(x0) oraz U(x0) = S(x0) u {x0}.
Iniaz już możemy przyjąć następującą definicję:
IKfINICJA 1.
Niech funkcja / będzie określona w pewnym sąsiedztwie S(x0) punktu x0. Granicą funkcji / w punkcie x0 (przy x dążącym do x0) jest liczba g - co zapisujemy lim /(x)= g - wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn), którego Wyrazy S(x0) oraz limxn = x0, prawdziwa jest równość lim/(x,,)= g.
I Mlnlcję tę można zapisać symbolicznie:
lim /(x)= g <=> Ą [ xne S(x0) a limxn = x0=>lim/(xfl)=g].
x->x/ w 3 (x„) n-+oo
I lellnlcję powyższą nazywa się definicją Heinego granicy funkcji w punkcie.
Nazwa tej definicji pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Eduarda Heinego (1821-1881), profesora uniwersytetów w Bonn i Halle, zajmującego się różnymi działami analizy matematycznej.
M/YKIAI11.
Obliczmy lim /(x), jeżeli:
«) /(X) = x + 4 i x0 = 1,
X2 - 4 e) /(X) = X + 2 3
dla x * -2
dla x = -2
i x0 = -2.
Atl a) Dziedziną funkcji ,/(x) = x + 4 jest zbiór R. Jest więc ona określona w każdym sąsiedztwie S(1), Ważmy zatem dowolny ciąg (x„), którego wyrazy V S(1) oraz lim x„ I.