img419 (4)

4

4

1 + --1 y 1 + -—1 n V n

1 + -

1_

n

v ⁿJ 1 + 1-1

n

Zastanówmy się, czy istnieje lim f(a_n). Jeśli n->oo, to licznik i mianownik tego

n—>oo    q

ułamka dążą do zera. Powstał symbol nieoznaczony typu Jeżeli jednak prze

kształcimy nasz ułamek, rozszerzając go przez liczbę ]j 1 + - +1, to otrzymamy

f ,_ \f    ' ⁿ

lim f(a_n) = lim /

n-»co    n-> oo^J

Z' A

i ₊ l

= lim

1 + 1-1

n J

1 + 1+1

V n )

= lim

n—>oo

n-> oo    "I

n

1 _ 2

1 + 1+1 ² n

1+1+1

n

v    y

= lim —

n-»co "|

n

1+1-1

n

1 + 1 +1

n

V    y

1 (—11ⁿ

Podobnie można wykazać, że jeżeli b_n = 1--oraz c„ = 1 + -——, to również

lim/(b_n) = lim /(c„) = 1.

n—>oo    n—>oo    ^

We wszystkich trzech przypadkach wynik potwierdzają dane z tabel.

Załóżmy teraz, że (x„) jest dowolnym ciągiem o wyrazach x_n*1 i x_n>1 oraz lim x = 1.

n—>co

n->oo

1

Sprawdźmy, czy w takim ogólnym przypadku otrzymamy równość lim f(x_n) = 1.

/)-*» ⁿ    n-»oo x_n — 1    n-»oo (^xn^_1)(V^ + l)    n—>oo a/x^ + 1    2

lim f(x_n) = lim 1 = lim    - lim

Otrzymaliśmy potwierdzenie naszej hipotezy.

Matematycy mówią w takim przypadku, że przy x dążącym do 1 funkcja / ma granicę równą 1 i zapisują to w następujący sposób:

lim/(*) = l.

Zanim uogólnimy nasze rozważania, przyjmijmy najpierw następujące określenia:

a)    Prawostronnym sąsiedztwem o promieniu 6 (fi > O) punktu x₀ nazywamy przedział (x₀, x₀ + <5) i oznaczamy S₊(x₀) lub S_h(x₀, fi).

b)    Lewostronnym sąsiedztwem o promieniu fi (fi > O) punktu x₀ nazywamy przedział (x₀ - fi, x₀) i oznaczamy S (x₀) lub S (x₍₎, fi).

c)    Sąsiedztwem o promieniu fi (fi > O) punktu x_u nazywamy zbiór

(Xo fi, X,,) U (Xd, x,i I fi) i o/ii.ii z.imy '.U,) lub ó)._

U) Prawostronnym otoczeniem o promieniu 6 (6 > 0) punktu x₀ nazywamy przedział (x_0l Xo + 5) i oznaczamy U₊(x₀) lub U₊(xq, ó). c) Lewostronnym otoczeniem o promieniu ó (6 > 0) punktu x₀ nazywamy przedział (x₀ — <5, Xq) i oznaczamy U_(x₀) lub U_(xq, 6). f) Otoczeniem o promieniu ó{ó>0) punktu x₀ nazywamy zbiór (x₀ -d,x₀+ ó) I oznaczamy U(x₀) lub U(x₀, 8).

Widać, że S(x₀) = S_(x₀) u S₊(x₀) oraz U(x₀) = S(x₀) u {x₀}.

Iniaz już możemy przyjąć następującą definicję:

IKfINICJA 1.

Niech funkcja / będzie określona w pewnym sąsiedztwie S(x₀) punktu x₀. Granicą funkcji / w punkcie x₀ (przy x dążącym do x₀) jest liczba g - co zapisujemy lim /(x)= g - wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x_n), którego Wyrazy S(x₀) oraz limx_n = x₀, prawdziwa jest równość lim/(x,,)= g.

I Mlnlcję tę można zapisać symbolicznie:

lim /(x)= g <=> Ą [ x_ne S(x₀) a limx_n = x₀=>lim/(x_fl)=g].

x->x/ ^{w 3}    (x„)    n-+oo

I lellnlcję powyższą nazywa się definicją Heinego granicy funkcji w punkcie.

Nazwa tej definicji pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Eduarda Heinego (1821-1881), profesora uniwersytetów w Bonn i Halle, zajmującego się różnymi działami analizy matematycznej.

M/YKIAI11.

Obliczmy lim /(x), jeżeli:

«) /(X) = x + 4 i x₀ = 1,

X² - 4 e) /(X) = X + 2 3

dla x * -2

dla x = -2

i x₀ = -2.

Atl a) Dziedziną funkcji ,/(x) = x + 4 jest zbiór R. Jest więc ona określona w każdym sąsiedztwie S(1), Ważmy zatem dowolny ciąg (x„), którego wyrazy V S(1) oraz lim x„ I.