IMG 1404015514

Wykład 2

I SYMETRIA TRANSLACYJNA

W obiektach nieskończonych i periodycznych, jakimi są (przynajmnie! teoretycznie) kryształy z punktu widzenia ich wewnętrznej struktury, do zna- I nych nam elementów symetrii punktowej dojdą dalsze, przede wszystkill I translacja, jako podstawowa operaq'a pozwalająca wygenerować? z poje- I dynczego lecz kompletnego motywu - całe wnętrze kryształu. '(Ternie .kompletny motyw" jest tu użyty niezbyt precyzyjnie; do zagadruemSno-1 tywu wrócimy później). Tym kompletnym motywem będzie wypełnifflH materią, niekoniecznie prostokątny równoległośdan o krawędzia|j|wyziUM czonych przez wektory a, b.E^roiłWlaśnie _lt^^_i^|a w trzecKl kierunki! przestrzeni w takt wektorów a;;b, c wygeneruje z pojedynds^ równ^ glośdanu („cegły") gruby trójwymiarowy mW^Preze^ua^MriSz krys®^ tał. W terminologii krystalograficznej ten elementarny równoległe!® nazywa się komórką elMentama;8TesHorm;6czwiiSg ną materią: atomami, jonami* (Ma^KarmBaoTO^oiEzas.t!^m®Bioj8 gicznymi. Dla chemika ta zawartość ma fundamentalne znaczenie; o nią| właśnie chodzi w trakde rozwiązywania (tj. odszyfrowywania) strukfffl kryształu. Jednak dla matematyka czy^sJaljo^ma^tKjrew^ta chemi^ffl zawartość komórkMlrontMęiMozaDTffimpm    Zadowom

ich często przedstawienie całej    jednej

punktu, umieszczonego na przykład w jej początku. Kontynuując tę abstrakcję, możnapunktów leżących w zakończeniach

m, n, p to liczby    wspól-

rzędnych całkowitych nazywamy;śi^>^^TO^^^® węzłami sieci. Ka chwilę dowiemy się, |ę możliwe^|j|ezj sieci z^eztąmtK) współrż^^OT przyjmujących wartość V4.)

Wybór komórki elementarnej w sieci wcale nie jest oczywisty/ jak ilustruje to poniższy rysunek. Krystalografowie przestrzegają jednak pewnych reguł, na skutek których wybór ten jest jednoznaczny. KomóTka elementarna powinna być najprostsza (o kątach jak najbliższych 90°), ale najmniejsza, ale o najwyższej symetrii. Ranga tych warunków rośnie od pierwszego do trzeciego, tj. najważniejsze by komórka elementarna (konkretnie chodzi o jej materialną zawartość) posiadała jak najwyższą symetrię. Powinna to być ta symetria, którą posiada struktura kryształu jako całość. W każdej sieci można wybrać komórkę prymitywną (oznaczaną symbolem P), posiadającą węzły tylko w narożach. Z pewnością będzie ona najmniejsza, lecz nie zawsze będzie posiadała najwyższą symetrię. Spełnienie tego warunku wymaga nieraz komórki z dodatkowymi węzłami (pogrubiony obrys na rysunku).

Oprócz komórki P, która posiada tylko jeden węzeł charakterystyczny (pozostałe naroża generuje translacja; poza tym każde z nich należy do ośmiu sąsiadujących komórek, czyli efektywme^ao jednej komórki należy jeden węzeł), istnieją trzy nieprymitywne sposoby centrowania sieci: J, C, F. Komórka I (niem. Innenzentrierte) posiada dodatkowy węzeł w samym środku. Ma on współrzędne Vi, Vi, Vi. Komórka C ma dodatkowy węzeł na środku ściany nie zawierającej wektora c, tj. wyznaczonej

Vi, 0. (Dopuszcza się (Flachen^

ruujących ją węzłów to: 0, 0, 0; V2, V2, 0; V2, 0, V2; 0, V2, V2. Podsumujmy: ko-mórkaP zawierał węzeł, komórkiIoraz C -2 węzły,komórka F -4 węzły.

Typy centrowania komórki zilustrowane wszystkimi możliwymi przypadkami z układu

25