Matem Finansowa3

Kapitalizacja zgodna z góry 33

2.2. Kapitalizacja zgodna z góry

Aby wyjaśnić istotę koncepcji kapitalizacji procentu z góry, powrócimy do przykładu (1.6), w którym opisaliśmy dwie różne transakcje finansowe, starając się wyjaśnić różnicę między kapitalizacją (wypłacaniem) procentu z dołu i z góry, to znaczy na końcu i na początku okresu bazowego.

W poprzednim paragrafie 2.1. wyprowadziliśmy wzory matematyczne opisujące zmiany wartości kapitału w czasie, związane z transakcją typu A. W tym paragrafie wyprowadzimy odpowiednie wzory dotyczące transakcji typu B. Przed przystąpieniem do wyprowadzania ogólnych wzorów rozważmy przykład, który jest kontynuacją przykładu 1.6.

Przykład 2.5. (transakcja B, por. przykład 1.6)

Zaciągamy pożyczkę w wysokości 2000 zł na jeden rok. Roczna stopa procentowa i=20%, zwrot kapitału na końcu okresu pożyczki, natomiast wypłata procentu na początku tego okresu.

Patrząc na opisaną wyżej transakcję B z punktu widzenia inwestora (pożyczkobiorcy), możemy postawić następujące pytanie:

Na początku roku inwestujemy 2000 zł. Jaka będzie wartość tych pieniędzy na końcu roku, jeżeli założymy możliwość reinwestowania procentu z taką samą stopą i=0,20?

Odpowiadając na powyższe pytanie, zauważmy, że procent wypłacany na początku roku (20% od zwracanego na koniec roku kapitału 2000 zł), wynoszący 400 zł z góry możemy reinwestować w ten sam sposób (tzn. na 20% z góry), otrzymując na początku roku 80 zł, które w dalszym ciągu możemy reinwestować. Powyższy proces reinwestowania możemy kontynuować w nieskończoność.

Tak więc zainwestowane na początku roku L₀ =2000 zł na końcu roku będzie mieć wartość, będącą sumą zwróconych 2000 zł oraz dochodów otrzymanych z reinwestowania procentu zapłaconego z góry, a więc

L, =2000+0,2-2000+(0,2)²-2000+(0,2)³ 2000+ ....

co daje

L,=2000-(1 +0,2+(0,2)² +(0,2)³ +. . .).