M8

148 Andrzej Zero - Mctthcad 7.0

148 Andrzej Zero - Mctthcad 7.0

B :=

2 5 8 9 J 4 1 6 3

APPSNDPRH(plikl) := B

Rys. 4.J2.i. Dołączanie danycli do zbioru typu PRN

4.14. Rozwiązywanie równań różniczkowych

Niniejszy rozdział ma na celu przybliżyć dość szeroki problem jakim jest rozwiązywanie równań różniczkowych. Na wstępie należy zaznaczyć, iż nie będą tu przedstawione wszystkie rodzaje równań różniczkowych oraz sposoby ich rozwiązywania. Rozdział ten ma bowiem za zadanie jedynie zasygnalizować, żc program INIathcad 7.0 ma takie możliwości. Program posiada bardzo rozbudowany system pomocy, do którego odsyłam w przypadku potrzeby rozwiązywania poszczególnych typów równań różniczkowych jakie oferuje nam matematyka. Podczas rozwiązywania równań różniczkowych warto także wiedzieć, że rozwiązaniem takiego równania nie jest konkretna liczba lecz pewna funkcja.

4.14.1. Równania różniczkowe pierwszego rzędu

W tym miejscu zostanie przedstawiony sposób rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu to takie równania, w których rząd pochodnej wynosi maksymalnie jeden. Sposób postępowania podczas rozwiązywania takiego równania zostanie przedstawiony na przykładzie równania z rysunku 4.124. Również na tym rysunku znajdują się kolejne etapy rozwiązywania przedstawionego równania.

Do rozwiązania równania różniczkowego są jedynie potrzebne trzy ostatnie linijki z rysunku 4.124. Pierwsza spełnia jedynie rolę informacyjną, czyli mówi ona użytkownikowi jakie mamy równanie Dokładny tok postępowania w celu rozwiązania przedstawionego równania różniczkowego jest następujący:

— - 2 y + 3HD dx

V=⁵

D(x,y) :=y₀-3 A ^rkftre ^y, 0,4, 100, D)

Rys. 4.124. Rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego rzędu

•    definiujemy równanie różniczkowe (tylko w celu informacyjnym) oraz warunki początkowe;

•    wpisujemy do dokumentu równanie różniczkowe w formie zrozumiałej dla programu (trzecia linijka z rysunku 4.124); równanie różniczkowe należy przekształcić tak, aby podać pierwszą pochodną w wyrażeniu D(x.y);

•    teraz używając funkcji rkfixed(y,xl,x2,n_punktówX>) należy rozwiązać równanie różniczkowe; rozwiązanie równania zostanie przypisane do zmienej A, która jest macierzą (patrz rys. 4.124); po opuszczeniu obszaru wyrażenia program przystąpi do obliczeń.

Poniżej przedstawiam poszczególne argumenty funkcji rkfixcd:

■    y - wektor n początkowych wartości; w tym konkretnym przypadku, czyli dla równania różniczkowego pierwszego rzędu jest to jedna wartość (punkt): vO-y(xl);

■    x1 oraz x2 początek i koniec przedziału, w którym obliczane są wartości funkcji, która jest rozwiązaniem równania różniczkowego;

' n_ punktów - jest to argument określający liczbę punktów poza punktem początkowym, dla których zostaną obliczone wartości funkcji, która jest rozwiązaniem; w wyniku obliczenia rozwiązania powstanie macierz o liczbie wierszy n+1;

•    D(x,y) - funkcja n-elementowego argumentu, która zawiera pierwsze pochodne szukanych funkcji.

Z powyższego opisu funkcji rkfixed wynika, że w przypadku równania

różniczkowego pierwszego rzędu macierz A jest macierzą dwukolumnową.

ty pierwszej kolumnie znajdują się punkty, w których zostały obliczone

Wartości funkcji, natomiast w drugiej kolumnie znajdują się już same