Obraz4 (113)

Cl)

b)

Rys. 17

'\

N

c)

Wyjaśniono przy tym (do takich interpretacji grafu dzieci były przyzwyczajone), że punkty reprezentują trzy osoby, zaś strzałkę należy czytać „osoba... jest starsza od osoby ...” Dzieci odczytały poprawnie dane zapisane grafem, wskazując odpowiednie punkty: „ta osoba jest starsza od tej, a ta od tej”. Postawiono następnie pytanie: Czy możesz jeszcze poprowadzić inne strzałki? Na przykład gestem ręki wskazano trzecią strzałkę przedstawioną na rysunku 17b). Dzieci zaprotestowały: Jak ta osoba jest starsza od tej, to ta nie może być starsza od tej. Ona jest młodsza. Powtórzono pytanie: Możesz jeszcze narysować jakąś strzałkę? Dzieci uzupełniły poprawnie (graf, ale wyjaśnienia były różne. Dziecko wskazując punkty na rysunku mówiło 1) „jak ta jest starsza od tej a ta starsza od tej, to ta jeszcze jest bardziej starsza od tej” lub 2) ,ja sobie pomyślałem, że to jest babcia, a to mama, a to ja, bo babcia jest starsza od mamy, a mama jest starsza ode mnie, babcia jest starsza ode mnie, więc narysowałem strzałkę”. W pierwszym przypadku dziecko rozumowało „na zmiennych”, ujmowało więc daną relację tak, że uświadamiało sobie jej przechodniość. W drugim prawdopodobnie tego jeszcze nie było, dziecko potrzebowało konkretyzacji, aby sobie możliwość poprowadzenia jeszcze jednej strzałki uświadomić. W tej samej wypowiedzi tego dziecka nie było śladu jakiejś dedukcji, tylko stwierdzenie faktów.

Zatrzymałem się dłużej nad tym przykładem, ponieważ nauczanie elementów arytmetyki jest dla rozwoju prawidłowego matematycznego myślenia dziecka niejednokrotnie decydujące. Jeżeli tu nastąpi zbyt wczesne zmechanizowanie przed właściwym pojęciowym ujęciem, niedostatecznie przygotowanym, dziecko może nawet pozornie dobrze liczyć, ale w przyszłości spotka się z ogromnymi trudności: To przygotowanie wymaga organizowania konkretnych czynności dziecka. Ale nie mogą to być czynności jakiekolwiek i wykonywane na jakimkolwiek materiale. Analiza struktury matematycznej, która jest przedmiotem nauczania w danym okresie, ujawnia znajdujące się u jej podstaw określone operacje myślowe; analiza psychologiczna tych operacji ujawnia ich genezę w określonym konkretnym działaniu. Prawidłowy proces nauczania uwzględnia ten porządek, przyspieszając równocześnie interioryzację. Nauczyciel powinien o tym wiedzieć; jeżeli tego nie rozumie, może używać nawet najwspanialszych pomocy naukowych w sposób dla rozwoju myśli matematycznej ucznia szkodliwy, może się łudzić, że wyjaśnia problem, gdy go tylko zaciemnia.

Dla podkreślenia roli, jaką w koncepcji dydaktycznej czynnościowego nauczania odgrywa jasna koncepcja naukowa, wspomnę tu o nieco innym podejściu do elementów arytmetyki, mianowicie o ujęciu opartym na tzw. materiale Cuisenaire.¹⁴ Teoretycznie wychodzimy tu od struktury algebraicznej arytmetyki liczb całkowitych nieujemnych, czyli półgrupy. Dzieci rozwiązują różne zadania, posługując się zespołem kolorowych klocków

0    przekroju 1 cm² i długościach 1 cm, 2 cm, 3 cm, 10 cm. Przygotowanie do arytmetyki polega na wykorzystaniu struktury tego materiału do manipulacji poprzedzających porównywanie liczb i działania na nich. Klocki jednakowego koloru są jednakowej długości. Każdy klocek reprezentuje jedną rodzinę klocków, jedną długość. Nazwy: klocek 1, 2, 3, ..., 10 wyrażają z początku to samo, co nazwy: klocek biały, różowy, żółty, ... pomarańczowy. Na polecenie: „pokaż klocek 2”, dzieci szukają klocka różowego. Na polecenie „wyciągnij z worka, nie zaglądając doń, klocek różowy”, dzieci tylko dotykiem porównując długości klocków wyciągają odpowiedni klocek 2. Dalej wprowadza się operację zsuwania dwóch klocków końcami (pociąg) i zastępowania tych dwóch: klocków „ze względu na długość” jednym (jeżeli to możliwe) klockiem. Klocek ten reprezentuje „długość” równą sumie długości, reprezentowanych przez zsunięte klocki. Dzieci, jeszcze nie wykonując rachunków, uświadamiają sobie przemienność i łączność tego działania, jego związek ze stosunkiem „mniejszości” w zbiorze „długości”, działania odwrotne. Tę samą sytuację konkretną dzieci ujmująjednocześnie

1    opisują różnymi sposobami, np.:

3 + 2 = 5,    5-3 = 2,    5-2 = 3.

Już na wstępie więc organizuje się czynności dziecka z punktu widzenia całej struktury arytmetyki liczb naturalnych; pojęcie liczby formuje się od początku w ścisłym związku z działaniami arytmetycznymi; a więc nie najpierw liczba, a potem działania, ale z systemu działań algc-¹⁴ Zob. np. Z. Krygowska i 1. Maroszkowa; Matematyka podstaw w pomocach naukowych, Matematyka Nr 4, 1961, PZWS, Warszawa.

235