Obraz3 (81)

Rząd n równania (4) zależy od liczby elementów pasywnych (reaktancyjnych) i struktury obwodu.

Rozwiązane równanie (4) stanowi odpowiedź x układu w stanie nieustalonym. Tej odpowiedzi będziemy właśnie poszukiwali.

Jak wynika z teorii równań różniczkowych liniowych, rozwiązanie ogólne x równania niejednorodnego jest sumą algebraiczną dwóch składowych:

•    x„ - składowej ustalonej, zwanej też składową wymuszoną, będącej rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego niejednorodnego (4);

•    x_p - składowej przejściowej, zwanej też składową swobodną, będącej rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jednorodnego.

Możemy więc napisać

(6)

x = x„ +x_p

Składowa ustalona x_u, zależy od charakteru wymuszenia f(t), od elementów i struktury obwodu.

Ponieważ dla obwodów liniowych przy wymuszeniu wykładniczym, odpowiedź też ma charakter wykładniczy, zatem składową ustaloną wyznaczamy rozwiązując dany obwód w warunkach pracy ustalonej.

Przypomnimy tylko, że zarówno sygnał stały, jak i sinusoidalny są szczególnymi przypadkami sygnału wykładniczego.

Jeżeli wymuszenie nie jest ograniczone, to odpowiedź też nie jest ograniczona i dlatego trudno ją nazwać składową ustaloną; rozwiązanie szczególne nazywamy wtedy składową wymuszoną.

W cełu wyznaczenia składowej przejściowej x,, rozwiązujemy równanie różniczkowe jednorodne liniowe (5) i otrzymujemy w przypadku s^Sj dla tej

(7)

X_p = Ą,e'"' + Ą^e^s-’‘ + ••• +A,e^s'‘ =£4-e^s''

i-1

przy czym: Sj, s₂,...,s_n - pierwiastki równania charakterystycznego o postaci

(8)

a_nsⁿ +a_n___ls^{n l}+a_n_₂sⁿ 2 + ... + a_ls + a₀ = 0

natomiast: Ai,A₂,...,A„ - stałe całkowania, które wyznaczamy mając dane warunki początkowe oraz korzystając z praw komutacji.

Składowa przejściowa x_p nie zależy od charakteru wymuszenia, lecz od rodzaju i struktury obwodu oraz od stanu początkowego obwodu (od warunków początkowych). Dlatego składowa x„ jest nazywana składową swobodną lub składową przejściową.

Należy zaznaczyć, że w obwodach spełniających warunek stabilności, co ma miejsce wówczas, gdy w obwodzie są elementy rozpraszające, składowa przejściowa zanika do zera przy t-»oo. Jeśli w obwodzie elektrycznym zostaje wywołany stan nieustalony, to powstaje w tym obwodzie składowa przejściowa związana z przejściem z jednego stanu do drugiego.

Jak wynika z przytoczonych rozważań, rozkład rozwiązania na dwie składowe umożliwia interpretacje fizyczną zjawisk w stanie nieustalonym. Jest to bardzo istotna cecha metody klasycznej.

Z tego też względu metody klasyczną podaje się jako pierwszą; mimo że inne metody charakteryzują się większą operatywnością w obliczaniu, metody te w mniejszym jednak stopniu pozwalają poznać istotę zjawisk fizycznych.

Stany nieustalone metoda klasyczna Strona 4    2007-01 -04