Obraz7 (108)

go naturalną potęgą liczby 2).

Gdy „plotki” zostaną ustawione w odległości mniejszej niż ~

2 ’

pajac będzie zawsze co jakiś czas „wyskakiwał poza płotki”. Uczniowie przekładają tę sytuację na język matematyki: jest taka liczba s, że dla każdej naturalnej liczby n znajdzie się liczba naturalna m taka, że m > n i b_m < -e lub b_m > £..

Zestawienie tych dwóch przykładów prowadzi ostatecznie do definicji zwrotu „ciąg a_n ma granicę 0”. Termin podaje nauczyciel, określenie formułują czasami uczniowie bez żadnych trudności. Precyzuje się robocze reguły postępowania: Co wystarczy udowodnić, aby mieć pewność, że dany ciąg ma granicę zero? Jakie czynności wykonać, aby zbadać, czy ciąg a„ ma granicę zero? Co wystarczy pokazać aby udowodnić, że ciąg a_n nie ma granicy zero?

Zauważmy, że do sformułowania definicji formalnie skomplikowanej, w której występują w definiensie aż trzy kwantyfikatory, uczniowie doszli opisując w terminach matematycznych wykonywane poprzednio konkretnie i przedłużone w wyobraźni czynności, następnie zaś od tej definicji powrócili znowu do czynnościowego sformułowania, precyzując reguły robocze, mające postać schematu postępowania, schematu, będącego równocześnie sprawozdaniem z czynności wykonywanych przed sformułowaniem definicji i planem czynności, które będzie się wykonywać, gdy się definicję będzie stosować. Logiczno-formalna struktura definicji staje się w ten sposób łatwiejsza do ujęcia przez słabszych uczniów. Cytując dokładnie ten przykład chcę zwrócić uwagę na zagadnienie ogólniejsze. Nauczyciel w opisanym przypadku nie zrezygnował, mimo przewidywanych trudności, z wprowadzenia pewnej definicji w sposób zupełnie precyzyjny, szukał natomiast odpowiednich środków’ dydaktycznych, które umożliwiłyby jego uczniom skonstruowanie własnej definicji, bo własne definicje pamięta się i rozwinie lepiej. Tym środkiem było odwołanie się do aktywności konkretnej przedłużanej następnie w wyobraźni i wreszcie wykonywanej za pomocą znanego już aparatu matematycznego formalnego, aktywności bardzo wyraźnie rozłożonej na pewne proste operacje. Mieliśmy i tu proces idealizacji i ekstrapolacji doświadczenia, oraz konstrukcję schematu sprawozdawczo-antycypacyjnego, jako operatywnie wyrażonej definicji.

Niektórzy nauczyciele matematyki uważają za żenujące tego rodzaju upoglądawianie matematycznych pojęć na poziomie szkoły' średniej. W naszej koncepcji dydaktycznej tego rodzaju zabiegi na każdym poziomie nauczania można i należy stosować, jeżeli tylko są potrzebne i prowadzą do poprawnego i operatywnego ujęcia naukowej treści. Decyduje fakt, że uczeń uznany za niezdolnego, który sam siebie uznaje za antytalent matematyczny, może przekroczyć próg bardzo istotny w matematycznym myśleniu, nie odczuwając tego, że to próg bardzo wysoki i że ostatecznie może działać w abstrakcji tak swobodnie, jak w pierwszym etapie działał w konkrecie gestu, rysunku, głośnej mowy.

d) Wiadomo, ile trudności sprawia uczniom rozróżnianie twierdzeń wzajemnie odwrotnych, szczególnie wtedy, jeżeli są one równocześnie prawdziwe lub równocześnie fałszywe. Uczeń rozwiązuje poprawnie zadanie: zbudować kwadrat mając dany odcinek równy jego przekątnej, ale dowodzi poprawności konstrukcji błędnie, mówiąc: „bo w kwadracie przekątne są prostopadłe, równe i połowią się”. Dla ucznia w szkole podstawowej twierdzenia: „w trójkącie naprzeciw równych boków leżą równe kąty” i „naprzeciw równych kątów leżą równe boki” wyrażają to samo. Uczeń mówi: „na trapezie równoramiennym można opisać okrąg, ponieważ w czworokącie wpisanym w okrąg sumy przeciwległych kątów są równe”. Uczniowie mylą warunek konieczny z warunkiem wystarczającym. Wszystkie te fakty obiektywnie stwierdzone dowodzą, że w zrozumieniu wynikania, założenia i tezy twierdzenia, stosowania twierdzenia (odrywania tezy) tkwią duże trudności pojęciowe, które trzeba w nauczaniu pokonywać odpowiednimi zabiegami dydaktycznymi. Będziemy do tych spraw często powracać; obecnie w związku z przykładami czynnościowego nauczania chcę tylko zwrócić uwagę na rolę, jaką w przygotowaniu ucznia do właściwego ujęcia wynikania mogą odegrać jego konkretne czynności w początkowym nauczaniu geometrii. Uczeń rysuje trójkąt tak, aby jego dwa boki były równe. W rezultacie wykonanej czynności otrzymał dwa kąty. Nie może ich już wybrać dowolnie. Symetria figury sugeruje mu, że te kąty muszą już być równe. W opisie odróżnia wyraźnie: konstrukcję od jej wyniku. Następnie uczeń konstruuje trójkąt, w którym dwa kąty są równe („przenosi” kąt). Otrzymuje boki równe. T tu w opisie odróżnia konstrukcję od jej wyniku. Uczeń mówi w skrócie: gdy skonstruowałem równe boki, otrzymałem równe kąty; gdy skonstruowałem równe kąty, otrzymałem

241