P1111249

Tytuł oryginału:

r. M. <DMXTEHrOJIbU

KyPC fltWM&EPEHUHAJIbHOrO H HHTErPAJlbHOrO HC4HCJIEHH*

Tom II

♦H3MA1TM3 MOCKBA 1959

Z języka rosyjskiego tłumaczyli: ABRAHAM GOETZ LUCJAN SZAMKOŁOWICZ BOLESŁAW OLEICHGEWICHT TADEUSZ HUSKOWSKI EDWARD PI EG AT

Okładkę projektował ZYGMUNT ZIEMKA

© Copyright for the Polish edition by Państwowe Wydawnictwo Naukowe Warszawa 1980 r.

Warszawa 1995

Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN Sp. z o.o.

Tytuł dotowany przez Ministra Edukacji Narodowej

ISBN 83-01-02174-8 t. 1-3

Wydawnictwo Naukowe PWN Sp. z o.o. Wydanie jedenaste Arkuszy drukarskich 43,5 Druk ukończono w maju 1997 r. Drukarnia Wydawnictw Naukowych S.A. Łódź, ul. Żwirki 2

ROZDZIAŁ VIII

FUNKCJA PIERWOTNA (CAŁKA NIEOZNACZONA)

§ 1. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania

263. Pojęcie funkcji pierwotnej (całki nieoznaczonej). W wielu zagadnieniach nauki i techniki mamy do czynienia nie ze znajdowaniem pochodnej danej funkcji, lecz na odwrót—z wyznaczaniem funkcji o danej pochodnej. W ustępie 91 zakładając, że znane jest nam równanie ruchu s = s (/), tj. zależność drogi od czasu, otrzymaliśmy za pomocą

a następnie przyśpieszenie a =

różniczkowania najpierw prędkość v =

.mmmm _r-,-_r-------- ,    często

dt    dt

jednak trzeba rozwiązywać zadanie odwrotne: przyśpieszenie a jest dane jako funkcja czasu t: a = o(t). Należy wyznaczyć prędkość v i przebytą drogę s w zależności od t. Tak więc w tym wypadku trzeba wyznaczyć funkcję v, której pochodną jest dana fun-cja, następnie zaś znając funkcję o znaleźć taką funkcję s = s (f). której pochodną jest o.

Podamy następującą definicję:

Funkcja F(x) nazywa się funkcją, pierwotną funkcji f{x) lub całką z f(x) w danym przedziale, jeśli w całym tym przedziale f(x) jest pochodną funkcji F(x) lub, co na jedno wychodzi, /(a) dx jest różniczką F(x):

F'(x) m f(x) lub dF (x) i f(x) dx (').

Znalezienie wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji nazywa się jej całkowaniem; jest to jedno z zadań rachunku całkowego. Jak widać, jest to zagadnienie odwrotne do zasadniczego zagadnienia rachunku różniczkowego.

Twierdzenie. Jeśli w pewnym przedziale CFi (skończonym lub nieskończonym, domkniętym lub nie) F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f{x), to funkcja F {x)+C, gdzie C jest dowolną stalą, jest również funkcją pierwotną f(x). Na odwrót, każda funkcja pierwotna funkcji f (jr) w przedziale Ot* może być przedstawiona h* tej postaci.

(') Mówimy również, że funkcja F(x) jest funkcją pierwotną (lub całką) wyrażenia różniczkowego /(x)dx.