P3310012 (2)

31

1.5. Macierze współzależności

31

r.

dla i,k= 1,2.....p. Jej elementami, poza główną przekątną, są współczynniki ko

relacji par zmiennych określonych w wektorze zmiennych, które obliczamy według wzoru

*

(120)

Macierz korelacji jest symetryczną (r_jt — r. ) macierzą kwadratową (p X p). Jest ona związana z macierzą kowariancji S relacją

(1.21)

(122)

r = d^,/2sd~^1/2

Zależność odwrotną możemy zapisać następująco

s=d^1/2rd^,/2

Jeżeli zmienne są standaryzowane (a wówczas macierz odchyleń standardowych jest jednostkowa, D^1/ — I), to

S = R

(123)

W podejściu stochastycznym macierz korelacji oznaczamy symbolem P Macierz współczynników korelacji R dostarcza pierwszej wskazówki o powiązaniach zmiennych występujących w macierzy danych . Niektóre metody analizy wielowymiarowej wymagają, aby współczynniki korelacji były istotne. Jeżeli więc obliczenia wykonujemy na macierzy korelacji z próby prostej, to w teście hipotezy o niezależności zmiennych w populacji wykorzystujemy statystykę

X¹ = -nln |R|

(124)

stopniami swobody (obszar krytyczny w tym teście jest prawostronny).

W roku 1929 R Frisch wprowadził termin współczynnika rozproszenia, de finiując go jako pierwiastek kwadratowy z wyznacznika macierzy korelacji mię

dzy parami zmiennych. J\R\. Jest on traktowany jako miara własności rozkładu

wielowymiarowego. Odpowiednik tego współczynnika dla dwóch zmiennych, czyli / |r, |, jest nazywany współczynnikiem alienacji

W analizie wielowymiarowej występują też inne macierze, szczególnie tz.w. macierze odległości lub podobieństwa. Zostaną one omówione w odpowiednich rozdziałach.

²² Macierz korelacji służy do pewnych pogłębionych analiz powiązań, jak np metodą clcmcntar nych powiązań (ang. single linkage).