53310

elementy poza główną przekątną są równe zeru. Macierz I często jest oznaczana przez E.

Macierz diagonalną D stanowi macierz kwadratowa, której wszystkie elementy poza główną przekątną są równe zeru, czyli =0 dla i* j.

Macierz skalarna jest to taka macierz diagonalna, której wszystkie elementy są sobie równe, np. c, wtedy można zapisać c • E = S.

Macierzą kwadratową nazywamy każdą macierz stopnia (k * k), czyli o wiersz ach i Jc-kolumnach.

Macierzą symetryczną jest taka macierz kwadratowa, w której elementy są symetryczne względem przekątnej głównej, czyli ^a# =aji. dla i* j.

Iloczyn macierzy A^rA jest macierzą symetryczną, gdyż

A^T ■ A — N    (1.11)

Macierzy symetrycznej odpowiada jej transpoza, czyli

N^r —{a^ta)^t —a^ta =n    (112)

Niezmienność względem transpozycji cechuje każdy iloczyn macierzy, który prowadzi do macierzy symetrycznej.

Jeżeli macierz P jest symetiyczna, to zawsze iloczyn A⁷ pa =n stanowi macieiz symetryczną, gdyż

P A = N «

mm mn nn

|A^rPA) = A^rP A = N

(113)

Dla macierzy kwadratowych można zdefiniować potęgowanie czyli

AA = A²    (1,14)

Macierz idempotentna A stanowi macierz kwadratowa, która spełnia następujący warunek

A² = A    (115)

Macierz hermitowska stanowi macierz kwadratowa, w której główna przekątna składa się tylko z zer i jedynek, a pozostałe elementy są równe zeru.

1.3. Rozkład macierzy na czynniki trójkątne lub trapezowe

Macietz kwadratową stopnia n można rozłożyć na iloczyn dwóch macieizy trójkątnych, z któiych pierwsza składa się z elementów zerowych nad przekąuią główną, a druga pod przekątną główną, czyli

A = H^tG    (1.16)

n.n n.n n.n

Elementy położone na przekątnej jednej z macierzy H lub G mogą być dowolnie ustalonymi liczbami z wyjątkiem zera. Najczęściej przyjmuje się na przekątnej macierzy G jedynki, a pozostałe elementy macierzy H i G wyznacza się z definicji mnożenia macierzy, czyli dla macieizy stopnia 3 będzie

’^aII	a,2	<*13 *		^hn	0	0		'l	9i2	Sl3*
a2l	^a22	^a23	=	/t,2	hn	0		0	1	9n
«3I	0*2	a33.		/»13	^/j23	V		0	0	1

(117)

lub

A = H^tG    (118)

Macieiz prostokątną poziomą , n<ni można rozłożyć na iloczyn macierzy trójkątnej “ i macieizy

trapezowej ^ o n wierszach i m kolumnach, przy czym elementy na przekąmej głównej mogą być ustalone w formie 1, czyli

’°II °I2 0„] = [	l\, 0'		'l	9x2	9n
_a2I ^a22 ^a23j L	/*! 2 ^22.		0	1	9zs_

A =H ■ G

n.m n.n n.m

(1.19)

lub

(1.20)

Macieiz symetryczną można rozłożyć na iloczyn dwóch macieizy, z których jedna jest transpozą drugiej, czyli

N = R R

m ,m m.m m.m

^r " (1.21)

Taki rozkład macierzy symetrycznej może nosić nazwę pierwiastka kwadratowego macierzy.

1.4. Wyznaczniki i minory macierzy, wartości w łasne macierzy

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n o elementach nazywamy funkcję rzeczywistą elementów ^au określoną wzorem

det(A)=|A|=£±<a_lła_2/...fl,J    (1.22)

gdzie sumowanie przebiega wszystkie permutacje wskaźników (i, j, •••, p) ciągu (1, 2,..., n), przy czym znak plus jest, gdy 0, j, •••, p) tworzą permutację parzystą, zaś znak minus jest gdy wskaźniki te tworzą permutację nieparzystą.

Jeżeli w macierzy A skreśli się i-ty wiersz i j-tą kolumnę, to wyznacznik takiej podmarierzy nosi nazw ę minora

2