s16 17

16

Obliczyć:

25.    arcsin(l) + arccos(l) + arctg(l) + arcctg(l)

26.    arcsin(—1) + arccos(-l) + arctg(—1) + arcctg( — 1)

27.    arcsin(l) + arccos(|) + arcsin( —i) + arccos(— |)

28.    arcsia ^ + arccos ^ + arctg ^) + arcctg( —1)

29.    2 arcsin (—5) 4- arctg(—1)

30. 3 arccos    ^ j + arcsin (|) + arctg (— V3)

Odpowiedzi

1.	nt\{-5,5}	2.	[i,°o)	3.	(-oo,4)
4.	[0,1)	5.	(-5,0]	6.	JR\[-3,3]
7.	[-1,1]	8.	hl,l)	9.	[-2,1) U (1,2)
10.	(-l,oo)	11.	(-00,-2) U (2,3]	12.	(l,oo)
13.	(—00,1] U [5,00)	14.	(—oo,-13]U[-§,oc)	15.	(Ml
16.	[-2,2]	17.	[1,4)	18.	[-1,3]
19.	[0,1] U [3,4]	20.	[—1, — 5) U (§, 3]	21.	[-4,0] U [2, 6]
22.	(-5,-3) U (3,5)	23.	(—5, —7r] U [0,3)	24.	(2,3)
25.	7r	26.	7r	27.	IX
28.	7r	29.	~T2^n	30.	h

1.2.3. Funkcja odwrotna

Wyznaczyć funkcję odwrotną, do
- x, + e "-^0’	X 2. f(x) = sin —, — TT < X < TT

Rozwiązania

1. Zauważmy, że D(f) = [0,oo),    /(/) = (0,1], gdzie D(f) oznacza dziedzinę

funkcji /, natomiast /(/) oznacza przeciwdziedzinę funkcji /. bunkcja / jest równowartościowa w rozpatrywanym przedziale, a więc istnieje lunkejn odwrotna

/ ¹ do funkcji /. Funkcję / ¹ wyznaczymy rozwiązując równanie

V =

x² + 1

względem x. Oczywiście a stąd

x^z + 1

x = t / - - 1 =

1 -2/

gdyż a; > 0. Po zamianie zmiennych funkcja

r^l{x) =

1 — X

,    0 < x < 1

jest szukaną funkcją odwrotną. Zauważmy, że

I>(/-¹) = (0,1]_> /(Z"¹) = [0, oo).

2. Oczywiście £)(/) = [-7r, 7r], /(/) = [—1,1], Wyznaczając x z równania

V = sin|,

mamy arcsin?/ = §, a więc

x = 2 arcsin?/.

Po zamianie zmiennych funkcja odwrotna ma postać

/ ~¹ (x) = 2 arcsin x.

Zauważmy, że jD(/^-1) = [—1,1], 7(/^_1) = [—?r, zr].

Wyznaczyć funkcję odwrotną do danej oraz określić jej dziedzinę i zbiór wartości:

1. y = 4 — a², a: € [0, oo)

3. ?/ = 2* - 3

5. y = 2sin3x, * € -J 7.?/ = ^Hl" (*+-[•)+2, a: £ [- — ,-] 2. ?/ = a;² + 1, x € [0, oo) ⁴- V = log, (a- - 1)

0. ?y = 3cos2a, x £ [0, ~]

H. )i arcsin(x - I) + 1, x £ [0,2]