str177 (3)

iOWANIA

proste, mamy

ne Laplace’a i wykorzystując

y szukane rozwiązanie

lie przekształcenie Laplace’a.

/korzystując warunki począt-raniu

5 5. WYZNACZANIE ROZWIĄZANIA RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO RZĘDU n    177

Stosując do wzoru (8) obustronnie odwrotne przekształcenie Laplace’a i wzór Bo-rela (3.9), mamy

®    '■ '•'‘(jmki*®] - ^L"((d?5i)'^L"(^#(s»-

ale

(10)    L~¹ (_(S+1¹)-₂-₁) = e^_‘sin t,    U' (<P(S)) = f(t).

Uwzględniając związki (10) we wzorze (9), mamy

t

y = /(0*(e^-,sin 0 = J f(t—T)e^_,sinrdT.

o

Jest to szukane rozwiązanie równania (1) przy warunkach (2).

Zadanie 5.10. Rozwiązać układ równań

2y" - y''+9y - (z" + z' + 3z) = 0, 2y" + y'+7y-(z"—z' + 5z) = 0

przy warunkach początkowych

(2)    y (0) = /(O) = 1,    z (0) = z'(0) = 0.

Rozwiązanie. Stosujemy do obu równań układu (1) przekształcenie Laplace’a, wykorzystując wzór (1.6) otrzymujemy

2L(y")-L(y') + 9L(y)-L(z")-L(z')-3L(z) = 0,

(3)

2L (y")+L(y')+1L (y) -L (z")+L (z') -5L (z) = 0.

Stosując wzór (1.8), mamy

L(y") = S²L(y)-Sy( + 0)-/( + 0),

(4)    L(z") = S²L(z)-Sz(+0)-z'(+0),

L(y') = SL(y)-y(+ 0),

L(z') = SL(z)-z( + 0).

Podstawiając wzory (4) do układu (3) i uwzględniając warunki początkowe (2), otrzymujemy po przekształceniach

(2S²-S + 9)L(y)-(S² + S + 3)L(z) = 2S+l,

(5)

(2S² + S+7)L(y)-(S²-S + 5)L(z) = 2S + 3.

Jest to układ równań liniowych o dwóch niewiadomych L{y) oraz L(z); rozwiązując go, znajdujemy

(6)

LM - f

2

L(z)=_r

1

+

2 S 2    1

T’ Ś* + 4 ⁺ T's² + 4’ 2 S 2    1

T S² + 4~ 3~ S² + 4'

12 — Wybrane działy matematyki...