Str033 (2)

2. ("‘infai ilróftcfianp 62 cliły kwadratowe

16.    Niech i7 będzie automorfizmem F_f z twierdzenia 2.1.5. Udowodnij,

zbiór elementów stałych przekształcenia n^J jest ciałem F_p„, gdzj® A « NWD{j,/).    Tj|

17.    Udowodnij, że jeśli b jest generatorem grupy F*„ i d\n, to ~    1> j^i

generatorem grupy Fi*.

2.2. Reszty kwadratowe i prawo wzajemności

Pierwiastki r jedności. W wielu sytuacjach dobrze jest znać rozwiązania równania .v" = I. Przypuśćmy, że mamy do czynienia ze skończonym ciałem F_c. Odpowiemy teraz na pytanie: Ile pierwiastków n-tego stopnia z jedności jest w dclc F.7

Twierdzenie 2.2.1. Niech g będzie generatorem grupy FJ. Wówczas g^J jest pierwiastkiem n-tego stopnia z jedności wtedy i tylko wtedy, gdy nj s 0 (mod q — 1). Liczba pierwiastków n-tego stopnia z jedności jest równa NWD(n, q — 1). W szczególności ciało F_fl ma pierwiastek pierwotny n-tego stopnia z jedności (tzn. element £ taki, że potęgi £ dają n pierwiastków n-tego stopnia z jedności) wtedy i tylko wtedy, gdy n\q — 1. Jeśli ć jest pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedności w ciele F_fI to też jest pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedności wtedy i tylko wtedy, gdy NWD{j, n) — 1.

Dowód. Każdy element grupy F* jest pewną potęgą g^J generatora g. Potęga g jest równa 1 wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykładnik jest podzielny przez q— 1. Zatem element g^J jest pierwiastkiem n-tego stopnia z jedności wtedy i tylko wtedy, gdy nj s 0 (mod q — 1). Następnie niech d — NWD(n, q — 1). Zgodnie z wnioskiem 2 do twierdzenia 1.3.1 równanie nj = 0 (mod q — 1) (w którym

— 1. Ponie-

niewiadomą jest j) jest równoważne równaniu    j = 0 (mod

waż liczba n/d jest względnie pierwsza z (q — 1 )/d, rozwiązaniami tej ostatniej kongruencji są liczby j będące wielokrotnościami (q — 1)1 d. Inaczej mówiąc, pierwiastkami n-tego stopnia z jedności jest dokładnie d różnych potęg g^^ą~¹⁾¹⁴. Istnieje n takich pierwiastków wtedy i tylko wtedy, gdy d=n, tzn. gdy n| q — 1. Wreszcie, jeśli n dzieli q — 1, niech £ = g^{ą~^1)/n. Wówczas & jest równe 1 wtedy i tylko wtedy, gdy n\j. To znaczy, że fc-ta potęga f^J jest równa 1 wtedy i tylko wtedy, gdy kj = 0 (mod n). Łatwo zauważyć, że & ma rząd n (tzn. ta ostatnia kongruencja nie zachodzi dla żadnego dodatniego k <n) wtedy i tylko wtedy, gdy liczby j i n są względnie pierwsze. Zatem jeśli n\q — 1, to istnieje (pin) różnych pierwiastków pierwotnych n-tego stopnia z jedności. To kończy dowód.

Wniosek 1. Jeśli NWD{n, q — 1) = 1, to 1 jest jedynym pierwiastkiem n-tego stopnia z jedności w ciele ¥_q.

Wniosek 2. Liczba —\eV.ma pierwiastek kwadratowy w P wtedy i tylko wtedy, gdy q ?= I (mod 4).

Pierwszy wniosek jest szczególnym przypadkiem twierdzenia. Aby udowodnić wniosek 2, zauważmy, źe pierwiastek Kwadratowy z -1 jest to dokładnie pierwiastek pierwotny czwartego stopnia z jedności, a nasze ciało ma pierwiastek pierwotny czwartego stopnia z jedności wtedy i tylko wtedy, gdy 4|?- l.

Wniosek 2 mówi, że jeśli q = 3 (mod 4), to możemy zawsze otrzymać rozszerzenie kwadratowe F,j, dołączając pierwiastek wielomianu X¹ + 1, czyli rozważając wyrażenia takie jak liczby Gaussa, tzn. postaci a + bi. W ostatnim podrozdziale zrobiliśmy to dla q - 3.

Przypuśćmy na przykład, że liczba pierwsza p przystaje do 3 rnodulo 4. Na ciało F_pa możemy popatrzeć w pewien szczególny sposób, dający się zresztą uogólnić na inne przypadki. Niech R oznacza pierścień liczb całkowitych Gaussa (por. ćwiczenie 11 do podrozdziału 1.2). Czasami zapisujemy R w postaci R — TjĄ- Zi_f mając na myśli zbiór wszystkich kombinacji liniowych 1 oraz /, mających współczynniki całkowite. Jeśli m jest liczbą całkowitą Gaussa oraz a = a + bi i = c + di są liczbami całkowitymi Gaussa, to piszemy a = P (mod m)y jeśli liczba a - fi jest podzielna przez m, tzn. iloraz jest liczbą całkowitą Gaussa. Możemy wtedy rozpatrywać zbiór R/mR klas reszt rnodulo m\ dokładnie tak samo, jak w przypadku zwykłych liczb całkowitych, klasy reszt można dodawać i mnożyć i wynik nie zależy od wyboru reprezentantów z klas reszt. Teraz, jeśli m = p + Oi jest liczbą pierwszą przystającą do 3 modu-lo 4, to nietrudno pokazać, że R/mR jest ciałem F_pJ.

Reszty kwadratowe. Niech p będzie nieparzystą liczbą pierwszą, tzn. p > 2. Chcemy wiedzieć, które spośród niezerowych elementów {1,2,..., p — 1} ciała F_p są kwadratami. Jeśli pewne aeFJ jest kwadratem, np. b¹ = a, to a ma dokładnie dwa pierwiastki kwadratowe ±b (gdyż równanie X¹ - a- 0 ma co najwyżej dwa rozwiązania w dowolnym ciele). Zatem wszystkie kwadraty w FJ można znaleźć, obliczając b² rnodulo p dla b- 1, 2, 3, .... (p- l)/2 (gdyż pozostałe liczby całkowite aż do p — 1 przystają do — b dla jednego z tych b), i kwadraty stanowią dokładnie połowę wszystkich elementów FJ. Na przykład kwadratami w F_u są l² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 5 i 5² = 3. Kwadraty w F_p nazywamy resztami kwadratowymi rnodulo p. Pozostałe niezerowe elementy F_p nazywamy nieresztami. Dla p = 11 nieresztami są 2, 6, 7, 8, 10. Jest więc (p — l)/2 reszt i (p — l)/2 niereszt.

Jeśli g jest generatorem grupy multyplikatywnej ciała F_p, to każdy element może być zapisany w postaci g^J. Zatem kwadrat dowolnego elementu ma postać g^J dla parzystego j. Odwrotnie, każdy element postaci g^J dla parzystego j jest kwadratem pewnego elementu, mianowicie ±g^jl2-