10. Rozstrzygnąć, czy prawdą jest, że: f H /* fcUH ^ *'(*****’
a) w równaniu t/ = ł/:,| j/| jest lokalna jednoznaczność rozwiązań, Tfi K.
ł>) w każdym równaniu przez jeden punkt przechodzi zawsze nie więcej niż jedno rozwiązanie wysycone, WB o) przedział [0,1] jest dziedziną pewnego rozwiązania wysyconego równania \J = y2. tf(hłrfy) <k>^H d) istnieje punkt, przez który przechodzi nieskończenie wiele rozwiązań wysyconych równania \{ = |//|1/gCf/}l<C
/ .. . W tym równaniu: . - .
-(»"*) dlayer Z. . ..
a) w każdym punkcie przez który przechodzi jakieś rozwiązanie jest lokalna jednoznaczność rozwiąźań. /n r\
b) dziedziną każdego rozwiązania wysyconego jest R, WE ^xł-c)
c) dziedziną pewnego rozwiązania wysyconego jest [a, -foo) dla pewnego a € R, Mc
d) istuieje punkt na płaszczyźnie, przez który nie przechodzi żadne rozwiązanie._
12. Rozstrzygnąć, czy prawdziwe są następujące wzory na temat transformaty Laplacea:
a) !(«*)(«)-l/(« +2), Al te
_ Z'
C
b) £(/")(«) = «!/«”,JWS
d) LL(£? t)(sJ=(s* + 2)/(ć‘ + ■).,). ft/g_^ 0
13. Znajdź wszystkie liczby a € R dla których macierz
j 0 ma dwie klatki Jordana (umawiajmy się, że
jeśli występuje sprzężona para wartości własnych istotnie zespolonych, to jest to jedna klatka). ^
14. Niech A € M(n, n). Wówczas w układzie generowanym przez równanie i2 = Ax\ -
a) mogą istnieć orbity okresowe, TAK “ ty (2* )
b) może istnieć więcej niż jeden stabilny punkt stały, Tfl-*- _
c) jeśli A jest macierzą hiperboliczną, to każda orbita jest albo okresowa, albo punktem stałym, Nl*1
d) jeśli indeks zera jest niezerowy, to zero jest stabilne. \}IE ( nf>' Siodle/_
15. Podaj zbiór rozwiązań równania \f" - y" + j/ = 3c* 1.__
a 0 0 -a
16. Jeśli układ generowany przez macierz
a) a > 0, MB
b) istnieje a € R takie, że zero jest stabilne,
c) zero jest zawsze niestabilne, \ & ^
d) może istnieć więcej niż jedeu punkt stały,
jest. hipcrboliczny. to:
17. Rozważmy równanie y2 = -y2 + ay + b, gdzie a,6 € R. Wtedy można dobrać a i b tak. aby:
a) istniał punkt stały asymptotycznie stabilny, T
b) istniał przynajmniej jeden punkt stały i każdy punkt stały był niestabilny, TfH*
c) w pewnym punkcie stałym nie były spełnione założenia twierdzenia Grohmana-Hartmana, TA ^
d) istniał punkt stały stabilny, ale nie asymptotycznie stabilny. fj[g_
‘ + y y5
stwierdzamy, że:
rfi- k
18. Badając stabilność punktu (0,0) w układzie
a) spełnione są założenia twierdzenia Grobmana-Hartmana.
b) punkt (0,0) jest asymptotycznie stabilny, Ali &
c) punkt (0,0) jest niestabilny, Jfi-k* . n
d) istnieje funkcja Lapunowa dla punktu (0.0). to* C< wwoa y
19. Niech / 6 Cł(R.R). Rozważmy układ gradientowy zadany przez /. Wówczas:
a) jest to układ zadany na płaszczyźnie, TAK _
b) jeśli / jest silnie rosnąca, to układ nie ma punktów stacjonarnych, Wł U
c) jeśli układ nic ma punktów stacjonarnych, to / jest nieograniczona,
d) każde miejsce zerowe / tworzy punkt stacjonarny układu. N1E_
20. Rozstrzygnąć, czy prawdą jest, że:
a) równanie \J = x + sin y jest równaniem Bernouliego, VI E~
b) układ hamiltonowski składa się zawsze z nieparzystej ilości równań, M ^
c) równanie \J = x zadaje układ dynamiczny, y/£ l/tf- C
d) równanie autonomiczne oznacza równanie z prawą stroną niezależną <xł czasu.