Egz rurki

10. Rozstrzygnąć, czy prawdą jest, że:    f H /* ^fcUH ^    *'(*****’

a) w równaniu t/ = ł/^:,| j/| jest lokalna jednoznaczność rozwiązań, Tfi K.

ł>) w każdym równaniu przez jeden punkt przechodzi zawsze nie więcej niż jedno rozwiązanie wysycone, WB o) przedział [0,1] jest dziedziną pewnego rozwiązania wysyconego równania \J = y². tf(hłrfy) <k>^H d) istnieje punkt, przez który przechodzi nieskończenie wiele rozwiązań wysyconych równania \{ = |//|¹/gCf/}l<C

0 dla u > x    * V rv« Wi-

/    ..    . W tym równaniu:    . -    .

-(»"*) dlayer Z.    . ..

a)    w każdym punkcie przez który przechodzi jakieś rozwiązanie jest lokalna jednoznaczność rozwiąźań. /n r\

b)    dziedziną każdego rozwiązania wysyconego jest R, WE    ^xł-c)

c)    dziedziną pewnego rozwiązania wysyconego jest [a, -foo) dla pewnego a € R, Mc

d)    istuieje punkt na płaszczyźnie, przez który nie przechodzi żadne rozwiązanie._

12. Rozstrzygnąć, czy prawdziwe są następujące wzory na temat transformaty Laplacea:

a)    !(«*)(«)-l/(« +2), Al te

_ Z'

C

b)    £(/")(«) = «!/«”,JWS

d) ^LL(£? t)(sJ=(s* + 2)/(ć‘ + ■).,). ft/g_^    ⁰

13. Znajdź wszystkie liczby a € R dla których macierz

j 0 ma dwie klatki Jordana (umawiajmy się, że

jeśli występuje sprzężona para wartości własnych istotnie zespolonych, to jest to jedna klatka). ^

14.    Niech A € M(n, n). Wówczas w układzie generowanym przez równanie i² = Ax\    -

a)    mogą istnieć orbity okresowe, TAK “ ty    (2*    )

b)    może istnieć więcej niż jeden stabilny punkt stały, Tfl-*-    _

c)    jeśli A jest macierzą hiperboliczną, to każda orbita jest albo okresowa, albo punktem stałym, Nl*¹

d)    jeśli indeks zera jest niezerowy, to zero jest stabilne. \}IE ( nf>' Siodle/_

15.    Podaj zbiór rozwiązań równania \f" - y" + j/ = 3c*    1.__

a 0 0 -a

16. Jeśli układ generowany przez macierz

a)    a > 0, MB

b)    istnieje a € R takie, że zero jest stabilne,

c)    zero jest zawsze niestabilne, \ & ^

d)    może istnieć więcej niż jedeu punkt stały,

jest. hipcrboliczny. to:

17. Rozważmy równanie y² = -y² + ay + b, gdzie a,6 € R. Wtedy można dobrać a i b tak. aby:

a)    istniał punkt stały asymptotycznie stabilny, T

b)    istniał przynajmniej jeden punkt stały i każdy punkt stały był niestabilny, TfH*

c)    w pewnym punkcie stałym nie były spełnione założenia twierdzenia Grohmana-Hartmana, TA ^

d)    istniał punkt stały stabilny, ale nie asymptotycznie stabilny. fj[g_

‘ + y y⁵

stwierdzamy, że:

rfi- k

18. Badając stabilność punktu (0,0) w układzie

a)    spełnione są założenia twierdzenia Grobmana-Hartmana.

b)    punkt (0,0) jest asymptotycznie stabilny, Ali &

c)    punkt (0,0) jest niestabilny, Jfi-k*    . n

d) istnieje funkcja Lapunowa dla punktu (0.0).    to*    C< wwoa y

19.    Niech / 6 C^ł(R.R). Rozważmy układ gradientowy zadany przez /. Wówczas:

a) jest to układ zadany na płaszczyźnie, TAK    _

b)    jeśli / jest silnie rosnąca, to układ nie ma punktów stacjonarnych, Wł U

c)    jeśli układ nic ma punktów stacjonarnych, to / jest nieograniczona,

d)    każde miejsce zerowe / tworzy punkt stacjonarny układu. N1E_

20.    Rozstrzygnąć, czy prawdą jest, że:

a)    równanie \J = x + sin y jest równaniem Bernouliego,    VI E~

b)    układ hamiltonowski składa się zawsze z nieparzystej ilości równań, M ^

c)    równanie \J = x zadaje układ dynamiczny, y/£    l/tf- C

d)    równanie autonomiczne oznacza równanie z prawą stroną niezależną <xł czasu.