img058 (6)

METODY ANALITYCZNEGO PRZEDSTAWIANIA SYGNAŁÓW Uogólniony szereg Fouriera

z matematycznego punktu widzenia zagadnienie dyskretnej reprezentacji sygnału sprowadza się do zagadnienia aproksymacji, czyli przybliżenia sygnału x(t) szeregiem typu

i=i

gdzie:

u_t{t) - ustalone funkcje czasu (funkcje bazowe)

a_t - współczynniki szeregu (liczby rzeczywiste lub zespolone)

w pierwszej fazie procedury aproksymacyjnej wybiera się zbiór funkcji u_t(t) o określonych właściwościach a następnie wyznacza się liczby a,, tak aby błąd aproksymacji był najmniejszy w sensie pewnego ustalonego kryterium miary błędu; z reguły funkcje «,(r) są dobierane w taki sposób, by ze wzrostem ich liczby {n) błąd aproksymacji malał; mówimy wówczas, że ciąg funkcji

n

n = 1,2,...

1=1

jest zbieżny w sensie ustalonego kryterium zbieżności do sygnału x(/)

13

METODY ANALITYCZNEGO PRZEDSTAWIANIA SYGNAŁÓW Uogólniony szereg Fouriera

można udowodnić, że dowolną odcinkami ciągłą, funkcję x(t),.spełniającą warunek

h

§\x(tf dt < co

'l

można rozwinąć w szereg względem funkcji bazowych u₀(t),

tworzących układ liniowo niezależnych funkcji ortogonalnych, tak, że ze wzrostem ich liczby («) błąd aproksymacji maleje

funkcja x(t) spełniająca powyższy warunek nazywa się funkcją całkowalną z kwadratem; wszystkie sygnały stosowane w elektronice są całkowalne z kwadratem, gdyż warunek ten oznacza, że energia sygnału wydzielana na jednostkowym obciążeniu jest skończona

zbiór funkcji u_Q(t), u_{(t).....spełniający w przedziale <t_vt₂ > warunek

h

Jw= 0 dla i * j, gdzie i,j = 1,2,... nazywa się układem funkcji ortogonalnych