img076 (20)

81

81

	0	^anl^a\\	^a\2,l^a\\	~^a\nl^a\\
	~^a2ll^a22	0	- a23 /<Z22	~^a2n/^a22
G =	~ ^a3l/^a33	~^a3l/^a33	0	~^a3nl^a33
	_~^an\l^ann	~ ^n2 !®nn	-0«3 A^7™	0

We współrzędnych równanie (4.35) ma postać następującego układu n równań z n niewiadomymi

^X1	1	(-	'^a12	^x2	^a\3	^x3 ~	■ ^a\ n	^XJ+	A.
	fln								^an
^x2	^1	(-	^a21	^x\	~ ^a23	^x3 ~ *	~^a2n	^x»)+	A.
	^a22								^a22
	1								\ ^bn
^Xn	— -	i"	^an\	^x\	~^an2	^x2 ~	~ ^an,n-	-1 ^Xn-	l)+ —

(4.38)

(4.39)

Wzór (4.4) na iteracje proste w odniesieniu do równania (4.2) przekształconego do postaci (4.35) odpowiadającej metodzie Jacobiego przyjmuje postać

•*(o) ^e R ’

x^₊₁j=-£>~¹ (a - d)-x(_k + D¹ b, dla & = 0,1,2,

a po rozpisaniu we współrzędnych, postać Xj 6 R, dla i = 1, 2,    , n,

1    (    | i>j

^Xl,(i-+l) ~ _n V ^fl12 ^x2,(k) ^al3 ^X3,(k)    ^a\n ^xn,(k))⁺ ^

^x2,(k+l)⁼    (^_a21 ^x\,(k)~^a23 ^x\(k ~    ~ ^a2n ^xn,(A-))^H    ~

(4.40)

^a22

^xn,(k+1) ^_    '( ^an\ ^x\,(k) ^an2 ^x2,(k    ^an,n-1 ^xn-\,(k))⁺

®nn    ®nn

(4.41)

dla k = 0,1, 2,

Zgodnie z twierdzeniem 4.2 warunkiem koniecznym i dostatecznym zbieżności dla każdego punktu początkowego jc₍₀) e R" ciągu iterowanego danego formułą rekurencyjną

(4.40), (4.41) jest, aby promień spektralny macierzy - D ¹ (A - D) był liczbą mniejszą od jedności. Weryfikacja tego warunku wymaga istotnego nakładu obliczeniowego wynikającego z konieczności wyznaczenia lub oszacowania wartości własnych macierzy (4.36).

Warunkiem dostatecznym zbieżności ciągu iterowanego (4.40), (4.41) kolejnych przybliżeń w metodzie Jacobiego jest, aby dowolna norma macierzy (4.36) zgodna z zadaną normą w R" była liczbą mniejszą od jedności. Wynika to z podanego uprzednio twierdzenia 4.1