img289 (6)

trzema sposobami: I, II i III, przy czym przy każdym sposobie cięcia zostają kawałki drewna mniejsze niż 0,7 m, a więc przyjmiemy, że stanowią one odpad (tabl. 28).

Tablica 28

Belki	Sposoby cięcia
	I	II	III
0,7	7	3	0
2,5	0	1	2
Odpad
(w m)	0,3	0,6	0,2

Zamówienie 300 kompletów jest równoznaczne z wykonaniem co najmniej 2100 belek o długości 0,7 m i co najmniej 1200 belek o długości 2,5 m. Niech oznacza liczbę cięć sposobem I, x₂ - liczbę cięć sposobem II oraz x₃ - liczbę cięć sposobem III. A zatem warunki ograniczające przybiorą postać układu nierówności:

(1)    7x₁ + 3x₂    ^2100,

(2)    x₂    + 2x₃> 1200.

Ponieważ liczba cięć jest wielkością nieujemną, warunki brzegowe mają postać:

(3)    x_t^0,    x₂^0,    x₃^0.

Kryterium zadania stanowi wielkość odpadu, a więc funkcja celu jest zminimalizowana:

(4)    F(x_u x₂, x₃) = 0,3x₁+.0,6x₂-l-0,2x₃->min.

Uwzględniając wszystkie elementy, otrzymujemy model:

(1)    lx_l+1x₂    ^2100,

(2)    x₂    + 2x₃^ 1200,

(3)    Xj^0,    x₂^0,    x₃^0,

(4)    F(x._v x₂, x₃) = 0,3*! + 0,6x₂ + 0,2x₃-> min.

Zadanie nasze, mające wymiar 2x3, nie może być rozwiązane metodą geometryczną. Budujemy zatem program dualny o wymiarze 3x2, który następnie rozwiążemy korzystając z wymienionej metody. W programie dualnym (PD) wystąpią dwie zmienne: y_x i y₂, bo liczba ta odpowiada liczbie warunków ograniczających w PP. W PD model ma postać:

(1)    7y₂ ^0,3,

(2)    3t₁+ j₂=%0,6,

(3)    2^ <0,2,

(4)    y& 0,    y₂>0,

(5)    G(y₂,y₂) = 2100^! + 1200y₂->maxi Rysunek 7 obrazuje rozwiązanie PD metodą geometryczną.

70

Optymalne rozwiązanie PD stanowią współrzędne punktu P, czyli y\ = i i’2 = Wartość funkcji celu PD dla rozwiązania optymalnego wynosi

210.

G(y\,y₂) = -^-2100 + ^-1200

Podstawiając kolejno y\ i y\ do nierówności (1) — (3) w PD widzimy, że warunki (1) i (3) są słabo spełnione, a warunek (2) jest ostro spełniony. A zatem w PP zmienna o numerze 2, tzn. x"₂ = 0. Dla uzyskania wartości x₂ i x₂ tworzymy układ równań:

lx₂ = 2100,    2*3 = 1200;

stąd x\ = 300 oraz *3 = 600.

Sprawdzamy wartość funkcji celu dla rozwiązania optymalnego PP:

F(x\, x\, x\) = 0,3 • 300 + 0,6 • 0 + 0,2 ■ 600 = 210.

Warto zauważyć, że G(y\, y₂) = F{x\,    **3) = 210, co świadczy o popraw

ności rozwiązania.

35