img482

PRZYKtAD 14.

Pewna firma przewozi ciężarówką towar z miasta A do miasta B. Oba te miasta łączy autostrada, po której wolno się poruszać z prędkością nie mniejszą ni/ 50 km/h i nie większą niż 110 km/h, Firma obliczyła, że jeżeli ciężarówka je

dzie z prędkością x km/h, to zużycie paliwa wynosi 20 + ^ qqq litrów na godzinę. Odbiorca towaru płaci kierowcy 20 zł za godzinę jazdy i zwraca mu koszty paliwa na trasie z A do B. Załóżmy, że cena 1 litra paliwa wynosi 4 /I i obliczmy, jaka musi być prędkość ciężarówki na autostradzie, aby koszt ponoszony przez odbiorcę był najmniejszy.

Oznaczmy drogę (w km) z A do B przez d. Koszty, jakie ponosi odbiorca, są sumą płacy kierowcy i kosztów paliwa. Liczba godzin jazdy kierowcy jest rów

na -. Płaca kierowcy wynosi zatem 20 Obliczmy teraz koszt paliwa. Jest on

X    X

równy liczbie godzin jazdy pomnożonej przez zużycie paliwa w ciągu 1 godziny i przez cenę 1 litra paliwa, czyli

d

x

20 +

1000

• 4 =

80 +

250

Zatem koszt całkowity, jaki ponosi odbiorca, jest równy

20-+ -x x

( 2 'i ył Qf) 4-	_d f
^^8U + 250 j	^x l

100 +

250

= d

100

+

250

Ten koszt będzie najmniejszy, gdy wyrażenie w nawiasie osiągnie najmniejszą wartość. Szukamy więc najmniejszej wartości funkcji

250

/M=^ +

x e <50, 110).

Mamy:

+    D_f=( 50,110).

x^,i 250

Równanie /'(x) = 0 jest sprzeczne w dziedzinie pochodnej (sprawdź!), co oznacza, że nie ma tam punktów krytycznych. Obliczamy jeszcze /(50) = 2,2 oraz 96

/(110) = 1-275" > ^zatern koszt jest dla odbiorcy najmniejszy, jeśli ciężarówka jedzie z maksymalną dozwoloną prędkością 110 km/h.

3.5. Badanie przebiegu zmienności funkcji

Wyposażeni w tak bogaty już aparat pojęciowy możemy teraz przystąpić do czegoś, co w pewnym sensie stanowi podsumowanie i wykorzystanie opisanych metod rachunku różniczkowego: badania przebiegu zmienności funkcji, czyli znajdowania wykresu bardzo szerokiej już klasy funkcji. Nasze podsumowanie będzie przebiegać w pewnych etapach, które teraz omówimy:

1.    Wyznaczenie dziedziny funkcji (zapisanie jej najlepiej w postaci przedziału lub sumy przedziałów).

2.    Sprawdzenie, czy funkcja ma istotne dla wykresu własności (okresowość, parzystość, nieparzystość).

3.    Wyznaczenie punktów wspólnych wykresu z osiami układu współrzędnych.

4.    Obliczenie granic funkcji na krańcach przedziałów, których sumą jest dziedzina. Ewentualne wyznaczenie równań asymptot wykresu funkcji.

5.    Analiza pochodnej funkcji (wyznaczenie pochodnej, ustalenie jej dziedziny, wyznaczenie jej miejsc zerowych i przedziałów, w których przyjmuje wartości dodatnie i ujemne).

6.    Zbudowanie tabelki przebiegu zmienności funkcji.

7.    Naszkicowanie wykresu funkcji.

W punkcie 6. zbudujemy tabelkę przebiegu zmienności funkcji, która będzie zawierać prawie wszystkie informacje o tej funkcji. W szczególności, jeśli ustalimy, że funkcja jest rosnąca (malejąca) w pewnym przedziale, to dla oznaczenia tej własności będziemy używać znaku ^ (^|), jak to robiliśmy do tej pory w tabelce, która występowała przy okazji szukania ekstremów funkcji.