Obraz3 (87)

doń też przekształcenie odwrotne do przekształcenia, ale mimo to ten podzbiór nie tworzy grupy przekształceń. Kontrastowanie w przypadku definicji powinno dotyczyć każdego z czynników koniunkcji tworzącej definiens. Każdy z warunków zostanie w ten sposób szczególnie wyraziście w myśli ucznia utrwalony. W przypadku omawiania twierdzeń kontrastowanie będzie dotyczyć poszczególnych członów koniunkcji stanowiącej założenie twierdzenia, w celu uświadomienia uczniowi istotności każdej z tych przesłanek. Na przykład, omawia się w klasie twierdzenie: jeżeli funkcja jest określona na przedziale domkniętym i ciągła w tym przedziale, to jest w tym przedziale ograniczona. Czy ciągłość funkcji jest tu istotnym założeniem? Czy nie wystarczy założyć, że funkcja jest określona na przedziale domkniętym? Dla uczniów, których myślenie o funkcjach jest często spolaryzowane przez doświadczenia ograniczone do funkcji elementarnych, odpowiedź nie jest wcale oczywista. Czy możesz zdefiniować funkcję określoną w każdym punkcie przedziału domkniętego i nieograniczoną? Czy wystarczy zatem założyć tylko o funkcji, że jest określona na przedziale domkniętym, aby mieć pewność, że jest ona w tym przedziale ograniczona? Czy funkcja ograniczona, określona na przedziale domkniętym, musi być ciągła? Przykłady. Czy warunek, że przedział ma być domknięty, jest istotny? Czy mógłbyś skonstruować funkcję ciągłą na przedziale otwartym choćby jednostronnie, która nie byłaby ograniczona?

Schemat sprawozdawczo-antycypacyjny oparty na twierdzeniu formułuje się w myśli ucznia, gdy wyraźnie, explicite, sobie uświadamia: gdy stwierdzę w danej sytuacji, że spełniony jest warunek wyrażony w założeniu, to mogę być pewny, że jest też spełniony warunek podany w tezie. Otóż uczeń bardzo często zapomina o niektórych istotnych założeniach i otrzymuje wnioski fałszywe lub prawdziwe nawet, ale jego rozumowanie jest niepoprawne. Dlatego uświadamianie mu istotności przesłanek przez kontrprzykłady, których konstruowanie jest jedną z szczególnych form kontrastowania, jest tak bardzo ważne.

Wypada tu zrobić jedno zastrzeżenie. Czym innym jest istotność pewnej przesłanki w dowodzie, a czym innym jej istotność dla potencjalnej wywiedlności twierdzenia w ramach pewnej teorii. W szkole często formułujemy twierdzenia z mocniejszymi, niż to jest konieczne, założeniami i w dowodzie te mocne założenia wykorzystujemy. Nie myślimy tu o matematycznie głębokim sensie istotności założenia, której to istotności nie możemy gwarantować dotąd, dokąd nie pokażemy, że założenia już osłabić nie można, co zachodzi na przykład wtedy, gdy twierdzenie ma postać równoważności. Chodzi jednak o to, aby ujawnione w sformułowaniu twierdzenia założenia mocno utrwalić w myśli ucznia, zarówno przez stosowanie twierdzenia wprost, jak i przez opisane kontrastowanie.

Kontrastowanie - to środek szczególnie mocny i skuteczny przy eliminowaniu błędów. Uczeń twierdzi: Jeżeli figura ma środek symetrii, to ma także dwie prostopadłe osie symetrii, bowiem każdą symetrię środkową można przedstawić jako złożenie dwóch symetrii o osiach prostopadłych. Nauczyciel może sprowokować sytuację, w której uczeń sam się zorientuje, że twierdzenie jest fałszywe, co więcej, uświadomi sobie, dlaczego jego rozumowanie jest fałszywe. Czy równoległobok nierównoboczny i niepro-stokątny ma środek symetrii? A czy ma oś symetrii? Obserwujemy zaskoczenie ucznia i niepokój wywołany sprzecznością między poprawnym -jego zdaniem - rozumowaniem i fałszywym twierdzeniem otrzymanym jako wniosek. W wyniku analizy tego rozumowania przeprowadzonej z aktywnym udziałem ucznia ujawnia się, że rozumował on tak: jeżeli złożenie przekształceń / i g przekształca daną figurę na tę samą figurę, to każde z tych przekształceń przekształca tę figurę na tę samą figurę. Już przykład równoległoboku nieprostokątnego i nierównobocznego pokazuje, że twierdzenie jest fałszywe. Uczniowie podają wiele innych przykładów. Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?

Obserwowaliśmy w opisanej sytuacji rzeczywisty niepokój myślowy ucznia, niepokój twórczy, wewnętrzną konieczność wyjaśnienia powodu błędu dla samego siebie. Taki niepokój może nauczyciel wywołać w celu naturalnej motywacji prowadzonego przez uczniów badania. Jako przykład zacytujemy przebieg wstępu lekcji w klasie trzynastoletnich uczniów, uczonych według jeszcze bardzo ubogiego i tradycyjnego programu geometrii. Tematem było twierdzenie o stosunku pól figur podobnych, przy czym na poprzednich lekcjach naukę o figurach podobnych stosowano także w zadaniach geografii (mapa jako „ figura podobna” do pewnej wyidealizowanej z terenu rzeczywistego figury).

Nauczyciel przyniósł mapę Polski w skali 1 : 1 000 000 i rozwiesił ją na ścianie. Dzieci obliczyły odległość Krakowa od Warszawy, mnożąc odległość wymierzoną na mapie przez 1 000 000. Nauczyciel - bez żadnych wyjaśnień - sformułował pytanie: jak obliczycie pole obszaru przedstawionego na mapie? Dzieci zastosowały poznany i używany poprzednio wielokrotnie schemat wyznaczania z mapy „rzeczywistej odległości” do oblicza-

253