PC043383

1

PRZYKŁAD 1„68

Następujące ciągi są ciągami arytmetycznymi o wskazanej różnicy i wyrazie:

Pienią

a)    l, 3,5.7,9,...

b)    -1,-7, -U, -15, -19, ,..

r = 2, Oj ■= 1,

r = -4, aj = -3.

i

Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego ma postać: SSi | M -i) r.

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorcu

mm,

2

Przykład 1,69

Aby wyznaczyć wzór ogólny ciągu określonego w przykładzie 1.68a, wykom stamy wzór 1.3. Ponieważ o, = 1 oraz r = 2, otrzymujemy a_n = 1 + (n -1):| a stąd mamyn_n = 2n - 1.

Przykład 1,70

W celu wykazania, że ciąg określony wzorem a_n = 3n- 2 jest ciągiem arytmetyk nym, należy zbadać, czy różnica a_n+l - a_n jest stała (niezależna od n). Poniewś o_nłI = 3(n +1) - 2 = 3n +1, dlatego o_n+1 - a_n = 3/t +1 - (3n - 2) = 3=r. Badan różnica jest stale równa 3, co prowadzi do wniosku, że (a„)_n M jest ciągiea arytmetycznym o różnicy r = 3. Znając różnicę ciągu arytmetycznego (fljjp możemy na podstawie wzoru (1.4) wyznaczyć sumę pięciu początkowych jego wyrazów ^=^-5--^-5=35.

Definicja 1.63. Ciąg liczbowy (<*„)„_elN, nazywamy geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest co najmniej trzywyrazowy i każdy jego wyraz, począć od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stali} liczbę q, zwanej ilorazem ciągu.

Definicję 1.63 możemy zapisać symbolicznie w następujący sposób^

ciąg (*„)„„*• jest geometryczny « 3 V a„₊₁ =a_n-q.

Przykład 1.71

Poniższe ciągi to przykłady ciągów geometrycznych o podanym ilorazie i pierwszym wyrazie: b) -3,6, -12,24, -48,ą g-2, a, = -3.

Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ma postać:

(1.5)

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi:

Przykład 1.72

Aby wyznaczyć wzór ogólny ciągu geometrycznego określonego w przykładzie 1.71a, wykorzystamy wzór (1.5). Ponieważ a, = 1 oraz , otrzymujemy

^an =¹ '    a stąd mamy a„ = —_r.

Przykład 1.73

uauaj^w wauuou nutaz-u — ,

giem geometrycznym. Mamy:

Badając wartość ilorazu ty-, możemy ocenić, czy ciąg \=3- (~j) jest eią-

Korzystając z wzoru 1.6, możemy obliczyć sumę czterech początkowych wyrazów tego ciągu:

Dla dowolnej) ne N⁺ badany iloraz jest stały, co oznacza, że ciąg (b_n)_n4ł^ jest ciągiem geometrycznym, 0 pierwszym wyrazie ft* = 3-(-— J =-— oraz ilorazie q=-—.

c _    1-9" i 1-H)⁴._522,

- s ' 1-H) ⁶²⁵ ‘