Picture5

33.    «) Czy kwadrat macierzy niezerowej nio>c być macierzą zerową?

It) ( /y kwadrat macierzy nicjednostkowej mo/e być macierzą jednostkową?

c) (7y iloczyn macierzy niczerowych może być macierzą zerową? il) Czy przez pomnożenie macierzy przez macierz jednostkową zmienia się wymiar macierzy?

e) Czy z równości macierzowej A l / • A wynika, że macierze jednostkowe występujące po lewej i po prawej stronie równości są równe?

0 .leżeli mnożenie macierzy A i B jest wykonalne, to czy wykonalne jest również mnożenie A¹ ■ B¹ i B¹ ■ A¹'?

g)    Czy z równości macierzowej A ■ () = O wynika, że macierze zerowe występujące po lewej i po prawej stronie równości są równe?

h)    Czy w iloczynie macierzowym 0 A = 0 obie macierze zerowe mogą być tego samego wymiaru?

i)    Jakie warunki powinny być spełnione, aby iloczyn dwóch macierzy miał taki sam wymiar jak oba czynniki?

j)    Jakie warunki powinny być spełnione, aby iloczyn dwóch macierzy miał taki sam wymiar jak jeden z czynników?

34.    Niech A = [%]„„„ . Wykazać, że A + A¹ jest macierzą symetryczną.

35.    Udowodnić, że dla macierzy A, B, C o wymiarach pozwalających wykonać odpowiednie działania oraz dla k e R prawdziwe są następujące równości:

u) / • A = A, B ■ /= B,

b)    A{BC) = (AB)C,

c) A(B + C) = AB + AC, A(B - C) = AB - AC,

d) (B + C’)A = BA + CA, (B - C)A = BA - CA,

e)    k(AB) = (kA)B = A(kB), o (AB)^r=B^rA^r,

g) (A^rB^r)^r = BA.

36.    Obliczyć:

a)    AOB - C) + (zł - 2B)C + 2Z?(C + 2A),

b)    A(BC - CD) + A(C - B)D - AB(C - D).

37.    Jeżeli A i B są macierzami o wymiarach n x /?, to:

a)    AB = BAc$(A + B)(A-B)=A²-B²,

b)    AB = BA o A^TB^r —B^rA^r.

I Unrawd/tó C/V lloilaWillllC I milOŻCUlC

3S. Dany jesl zbiór macierzy A. Sprawdzić, działaniami wewnętrznymi w lym zbiorze:

a) A = ■

b) A = -

a -b li ci

a 0

a 0

oeR

a, b.c.d e R

39. W zbiorze: ‘a b~

M = ■

określono dodawanie i mnożenie macierzy.

a)    Czy każde z tych działań jest łączne.

b)    Czy dodawanie jest przemienne?

_C) Wyznaczyć element neutralny dodawania, d) Wyznaczyć element neutralny mnożenia.

o/na

40. Dany jest

jest zbiór V= {A = [%L,» ^A a" e R}- Czy (K, •). gdzie „ cza mnożenie macierzy, tworzy grupę?

41.    Wykazać, że zbiór macierzy postaci:

"cos a -sina A =

sin a cos a_

z mnożeniem macierzy stanowi grupę.

42.    Dany jest zbiór:

^ai2

U*) \

a a,_; £ R} •

K = {A\ A —

Czy (K, +, •) jest ciałem?

43. Dany jest zbiór macierzy postaci A =

a 0 0 ci

Wykazać, że

(zl,+, •)

tworzy ciało.