ScanImage05

;    Przedmowa

Przy pisaniu tej książki podano wiele krytycznych uwag i sugestii. Jestem szczególnie wdzięczny Richardowi Palais, Hugonowi Rossiemu, Robertowi Seeley’owi i Charlesowi Stenardowi za ich liczne pomocne komentarze.

Wykorzystałem to wydanie jako okazję do poprawienia wielu błędów drukarskich i pomniejszych pomyłek wskazanych mi przez pobłażliwych czytelników. Ponadto całkowicie zrewidowano i poprawiono materiał następujący po twierdzeniu 3.11. Inne ważne zmiany, których nie można było włączyć do tekstu bez nadmiernych poprawek, są wyliczone w dodatku na końcu książki (^l).

Michaeł Spivak

Waltham, Massachusetts Marzec 1968

(') W tłumaczeniu włączono do tekstu wszystkie uwagi z dodatku z wyjątkiem jednej, zamieszczonej jako przypis autorski na s. 54 (przyp. tłum.).

Funkcje na przestrzeni euklidesowej

Norma i iloczyn skalarny

Przestrzeń euklidesową n-wymiarową M" definiuje się jako zbiór wszystkich ciągów n-elementowych (x\..., xⁿ) liczb rzeczywistych x‘ (jednoelementowy ciąg liczbowy jest po prostu liczbą i R¹ = R jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych). Element z R" często nazywamy punktem przestrzeni R", a R¹, IR², M³ nazywamy odpowiednio prostą, płaszczyzną, przestrzenią. Jeżeli x oznacza element z R", to x jest w-elementowym ciągiem liczb, z których i-tą oznacza się przez x‘; tak więc piszemy

x = (x\ ..., xⁿ).

Często punkt przestrzeni R" nazywamy także wektorem w R", ponieważ R" z działaniami x + y = (x* + y¹,..., xⁿ + yⁿ) oraz ax = (ax^l,..., axⁿ) jest przestrzenią wektorową (nad ciałem liczb rzeczywistych, wymiaru ń). W tej przestrzeni wektorowej dane jest pojęcie długości wektora x, która nazywana jest zazwyczaj normą |x| wektora x i określona wzorem

\x\ -■ y/(x¹)² + . . . + (x")².

Jeżeli n = 1, to \x\ jest zwykłą wartością bezwzględną liczby x. Bardzo ważny jest związek między normą a strukturą przestrzeni wektorowej na R".

1.1. TWIERDZENIE. Jeżeli x,y e R" i a € R", to

(1)    |x| > 0, o |r | — 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0.

(2)    I Y^=x ^x‘y‘ I - |jc||3»|; równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x i y są liniowo zależne.

(3)    \x + y\ < |r| + |y|.

(4)    \ax\ = |a||x|.

Dowód. (1) pozostawia się czytelnikowi.

(2) Jeżeli x i y są liniowo zależne, to równość oczywiście zachodzi. Jeżeli nie są, to Xy — x 0 dla wszystkich X 6 R, więc

0 < \ky — x|² =    - x')² = X² ^(y¹)² - 2X ]Tx‘y + ^(x'')².

ł = l    i = 1    i=[    i = 1

Dlatego trójmian kwadratowy względem X stojący po prawej stronie nie ma pierwiastków rzeczywistych i jego wyróżnik musi być ujemny. Tak więc