31070 Image42 (16)

82

82

ku górze przedstawiono na

Przypadek stożka zwróconego wierzchołkiei rys.24. Mamy więc

u _ H

x ~ R’

V(y)

² du

y

H

Wtedy

y

H

dy =

! ng_PR²H² 4

2.19. Praca zostaje zużyta na pokonanie siły ciężkości działającej na piramidę, podnoszącą się z powierzchni ziemi (rys.25). Zmieniającą się objętość piramidy

obliczamy ze wzoru

Rys.25

V{y) =

x² du

a²y³

3 H

2 »

gdzie x znaleziono z proporcji

y - u

H

a

2

Stąd szukana praca

W =    F Jy) dy

y v(y) dy =

m²

ya

y³ dy =

i

2 rj2

12

ya^zH

Podstawiając dane liczbowe mamy

W » 1,63 ♦ 10¹² [Nm].

2.20. Aby usypać stos piasku w kształcie stożka, należy wykonać pracę

1

12

TvyR²H².

II

Wstawiając do tego wzoru dane liczbowe ma

rs-/

11 775 [Nm]

2.21. Praca włożona jest równa

gdzie y_w jest ciężarem właściwym wody.

2.22

I sposób. Praca siły F przy przemieszczeniu punktu od P₁ (x, y) do P2 (*, y) wyraża się całką krzywoliniową po drodze l (rys.26)

F_x dx 4- F_y dy

— e? cosy dx 4- e*

siny dy.

Krzywoliniową całkę skierowaną zamieniamy na całkę oznaczoną, wprowadzając parametryzację krzywej /:

X — t,	' = ,		- 9 •
	• V/ V/ o
Stąd	dx =	= dt,