31220 Scan0041

52 Iloczyn kartezjański. Relacje

5.2 Iloczyn kartezjański

Definicja 5.2 Iloczynem kartezjańskim A x B nazywamy zbiór par uporządkowanych (a,b), gdzie a^AibGB:

A x B — {(a,b) : a e A /\ b e B} .

Zbiór A nazywamy poprzednikiem iloczynu kartezjańskiego, a zbiór B — jego następnikiem.

Przykład 5.1

A = {a,b,cj, B = {1,2},

A x B = {(a, 1), (a, 2), (6,1), (6,2), (c, 1), (c, 2)} .

Jeśli A jest zbiorem n-elementowym i B jest zbiorem ra-elementowym, to iloczyn A x B jest zbiorem złożonym z n ■ m elementów, którymi są pary (a, b).

Definicja 5.3 Kwadratem kartezjańskim A² nazywamy iloczyn kartezjański zbioru A ze samym sobą.

Przykład 5.2

.4 = {0,1},    = A x ,4 = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}.

'b.k Dlu trzech zbiorów A, B, C mamy

A x B x C = {(a, b₇ c) : a G A A b £ B A c £ C} .

Zbiór A x B x C składa się z trójek uporządkowanych (a, 6, c).

5.2.1 Interpretacja geometryczna

Jeżeli x,y € R, to iloczyn R² = IR x R nazywamy płaszczyzną kartez-jańską lub przestrzenią R². Iloczyn ten tworzą wszystkie pary (punkty (a:, y)₇ gdzie x jest współrzędną na osi odciętych, a y jest współrzędną ni osi rzędnych. Jeżeli A₇B C R, to iloczyn A x B jest pewnym zbioirm punktów płaszczyzny.

Iloczyn R³ = R x R x R nazywamy przestrzenią R³.