42060 scan 6 (4)

2.2 DYWERGENCJA I ROTACJA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO

symetria pozwala nam wyciągnąć E przed znak całki: jest oczywiste, że E skierowane jest radialnie na zewnątrz.⁵ podobnie jak da, możemy więc opuścić znak iloczynu skalarnego.

/^E“^a = /

El da.

' a wartość E jest stała ( znak całki: W u	na powierzchni Gaussa, możemy zatem
	j |E| da = |E| J da = [E| 4tc/-^2.
st	5 5
Tak więc
ps	|E|47ir^: = -q
	<ń>
lub	<U II W
jjp^:	4n6() r-

^Zwróćmy uwagę na niezwykłą właściwość tego wyniku: pole na zewnątrz naładowanej kuli | jest dokładnie takie samo, jakie byłoby, gdyby cały ładunek był skoncentrowany w środku kuli.

Prawo Gaussa jest zawsze prawdziwe, choć niekiedy jest mało użyteczne. Jeśli p nie byłoby stałe (lub choćby nie było sferycznie symetryczne) albo gdybyśmy wybrali inną postać powierzchni Gaussa, to dalej byłoby prawdą, że strumień E jest równy (1/eo)cj, a(e nie mielibyśmy pewności, że E skierowane jest zgodnie z da i ma stałą wartość na całej powierzchni, a wtedy nie moglibyśmy uzasadnić wyciągnięcia |E| przed znak całki. W tym przykładzie zastosowania prawa Gaussa kluczową rolę odgrywa symetria. Z mojego doświadczenia wynika, że istnieją tylko trzy rodzaje symetrii, dla których można uzyskać za pomocą tego prawa znaczące wyniki:

1.    Symetria sferyczna. Należy wybrać powierzchnię Gaussa w kształcie sfery ze środkiem w środku symetrii.

2.    Symetria osiowa. Należy wybrać powierzchnię Gaussa w kształcie walca, którego tsią jest oś symetrii (rys. 2.19).

3.    Symetria względem płaszczyzny. Należy wybrać powierzchnię Gaussa w kształcie pudełka”, obejmującego wycinek płaszczyzny symetrycznie z obu stron (rys. 2.20).

Choć przypadki (2) i (3) wymagają, ściśle biorąc, nieskończenie długich walców płaszczyzn rozciągających się do nieskończoności we wszystkich kierunkach, to często ędziemy posługiwać się nimi w celu otrzymania przybliżonych rozwiązań dla „długich” 'alców lub „dtiżych” płaskich powierzchni, w punktach leżących daleko od brzegów.

³Jeśli ktoś nie jest przekonany o tym. że E ma kierunek radialny, niech rozważy inne możliwo-i. Przypuśćmy, że wektor pola skierowany jest wzdłuż „równika”, w kierunku „na wschód". Rzecz, tym. że wybór przebiegu „równika" jest całkowicie arbitralny — nie ma tu żadnej wyróżnionej osi (ółnoc-południe”, ponieważ nie ma żadnego obrotu. Tak więc każdy argument za tym. iż wektor E ierowany jest na „wschód”, może być równie dobrze użyty do pokazania, że jest on skierowany na achód”, „północ” lub w dowolnym innym kierunku. Jedynym wyróżnionym kierunkiem na sterze jest trunek radialny.