42901 spektroskopia010

3. ZASTOSOWANIE POMIARÓW WIDM ABSORPCJI I ODBICIA DO BADANIA PRZEJŚĆ MIĘDZYPASMOWYCH

Prawdopodobieństwo przejść

Oddziaływanie fali elektromagnetycznej z elektronami zajmującymi stany kwantowe opisuje się metodą półklasyczną, tzn. pole elektromagnetyczne jest traktowane klasycznie, a elektrony kwantowo — jako fale Blocha. Ścisły opis jest skomplikowany i trudniejszy do zrozumienia, choć prowadzi do tych samych rezultatów.

Jednoelektronowy hamiltonian przy braku zaburzenia ma postać

łr₀ = £^+m    p.i)

Fala elektromagnetyczna jest opisywana przez potencjał wektorowy A(r,t) i potencjał skalamy $(r,t). Dla uproszczenia stosujemy cechowanie Coulomba $ = 0 i div A = 0. Ostatni warunek oznacza poprzeczny charakter fali. W celu uwzględnienia pola elektromagnetycznego, opera-

tor pędu p w hamiltonianie zostaje zastąpiony przez p + —.

W przybliżeniu liniowym otrzymujemy

H = H₀+^- Ap.    (3.2)

TtlC

. £

Wyrażenie H _R = —Ap nosi nazwę hamiltonianu oddziaływania mc

elektron — promieniowanie. Ten sam hamiltonian można zapisać w postaci

H_tR = (-e)r-8,    (3.3)

gdzie r — wektor rzeczywisty, 8 — natężenie pola elektrycznego. Równanie (3.3) jest równoważne poprzedniemu, gdy wektor falowy fali q jest mały. Jest ono jednak mniej ogólne od poprzedniego i nosi nazwę przybliżenia dipolem elektrycznym. W przybliżeniu tym zaniedbuje się oddziaływanie elektronu z polem za pośrednictwem siły Lorentza.

W celu obliczenia prawdopodobieństwa przejścia elektronu z pasma walencyjnego |łj > (o energii E_v i wektorze k„) do pasma przewodnictwa \c > (o energii E_c i wektorze falowym k_c), należy obliczyć element macierzowy

I<C|H„|₀>|³ = (^Yl<c|/(e-p|_c>|³,    (3.4)

zamiast A napisaliśmy Ae, gdzie e jest wektorem jednostkowym w kierunku A.

Obliczanie wyrażenia <c|A -p|u> wymaga całkowania po przestrzeni, całkowanie zaś po czasie wyrażeń typu e^±,at występujących w A oraz w funkcjach Blocha dla stanów elektronów sprowadza się do

Jdt exp(i£_ct/ft)exp[i(—cot)]exp(—iE_vt/h).    (3.5)

Wyrażenie to jest proporcjonalne do

<5[E_e(k_c)-.E_I,(k_l,)-/iQ)]    (3.6)

(dla procesów emisji będzie analogicznie)

5l(E_c(k_c)-EM+ho>-].    (3.7)

Część przestrzenną funkcji Blocha dla elektronów zapisujemy w postaci:

|c> = Uc,k_f(r)exp[i(k_cr)],    (3.8)

|i>> = ^ui>,k_w(^r)^exP[i(k„r)].    (3.9)

A wyrażenie określające element macierzowy

Jdru*_t£(r)exp[i(q-k_e)r](ep)u₀,_tłexp(ik_Kr) . (3.10)

|<c|A-p|a>² =

l^l²

W

Ze względu na periodyczność funkcji Blocha, całka ta jest różna od zera tylko wtedy, gdy

k_e—k„—q = G,    (3.11)

gdzie G jest wektorem sieci odwrotnej.

Po zredukowaniu do pierwszej sfery Brillouina

k_e-k„—q = 0. (3.12)