50013 Image36 (14)

70

a = g,

» = v„ + gt,

x =

. gt v_ot + -2

Warunki początkowe dla drugiej części ruchu znajdujemy podstawiając w tych wzorach x = d. Wtedy

t, =

-/uf + 2gd -

V

o

g

o(t i)= v_i = ,/«£ + 2g<i, x(tj) = x_{ = d.

Ruch kamienia w wodzie jest opisany równaniem

m

dv

dt

mg — kv.

Po rozdzieleniu zmiennych w tym równaniu i scałkowaniu z uwzględnieniem warunków początkowych dla ruchu kamienia w wodzie otrzymujemy

v

mg

k

+ v

mg

k

m

X =

mg

k

(t ~

, m t_t) + j l v

mg

k

1 — e

Ht-t _t) m

+ d

Zatem szukane zależności położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu są następujące:

^rvJ + gt²

2

dla t

11 >

x(t) = <

mg _/    . m

_T a - j i

W0

k

1-e ^m ł +

dla t > t_if

2.9

a. Oscylatorem harmonicznym nietłumionym nazywamy punkt materialny wykonujący ruch pod wpływem siły sprężystej (typu Hooke’a) tzn. proporcjonalnej do wychylenia od stanu równowagi i skierowanej do położenia równowagi. Równanie Newtona takiego oscylatora w przypadku jednowymiarowym ma postać

• •

mx = — kx,

gdzie k jest dodatnim współczynnikiem proporcjonalności (stałą sprężystości). Dokonując standardowego podstawienia co² = — dostajemy równanie różnicz-

m

kowe drugiego rzędu, liniowe jednorodne

0

r

v„ + gt’

u (O =

<

mg

k

+ lo.-

mg

k

m

dla t ^ t_t,

dla t > t_L,

g,

dla t ^ t_lf

a(t) =

k

g

m

v_i i e

m-t _x>

m

dla t > t_lt

x + (1)X

Całki ogólnej tego równania szukamy w postaci x = e^rt. Z równania charakterystycznego mamy dwa rozwiązania

r = ±i(D,

zatem całka ogólna przybiera postać

x = Cj e

icot

-h C₂ ^e

— i(ot

Stale C₁ i C₂ wyznaczamy z warunków początkowych:

x(0) = 0, *(0) = -V

I