Image36

70

a = g.

v = V„ + gt,

^B»^{£ +} 2

Warunki początkowe dla drugiej części ruchu znajdujemy podstawiając w tych wzorach x = d. Wtedy

t. =

■\A£ + ²3^d -

17.

"(t₁)= Di =    +    ,

x(t_t) = x_l = d.

Ruch kamienia w wodzie jest opisany równaniem

— kv.

dv

mj = m_g

Po rozdzieleniu zmiennych w tym równaniu i scałkowaniu z uwzględnieniem warunków początkowych dla ruchu kamienia w wodzie otrzymujemy

v

mg

k

+ lv

mg

k

W-JO

m

X =

mg

k

(t ~

V rn t_t) + j w

mg

k

1 — e

Ht-t _Ł) m

-f d

Zatem szukane zależności położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu są następujące:

x(t) = <

v₀t + gt 2

dla t

»

mg _/    . m

x ^{t ~^h) + i¹

W0

k

k{t-ti)

1 — e ^m ) -4-

dla t >

2.9

a. Oscylatorem harmonicznym nietłumionym nazywamy punkt materialny wykonujący ruch pod wpływem siły sprężystej (typu Hooke’a) tzn. proporcjonalnej do wychylenia od stanu równowagi i skierowanej do położenia równowagi. Równanie Newtona takiego oscylatora w przypadku jednowymiarowym ma postać

• •

mx = — kx,

gdzie k jest dodatnim współczynnikiem proporcjonalności (stałą sprężystości) Dokonując standardowego podstawienia co² = — dostajemy równanie różnicz-

m

r

»o + 9t>

Ht-tD

dla t ^ t_lt dla t > t_L,

W-t])

dla t ^ t_lt dla t > t_x,

kowe drugiego rzędu, liniowe jednorodne

x 4- co²x = 0

Całki ogólnej tego równania szukamy w postaci x = e*. Z równania charakterystycznego mamy dwa rozwiązania

r — + Ud,

zatem całka ogólna przybiera postać

x = C₁ e

iCDt

+ C₂ ^e

— i(ot

Stale C, i C₂ wyznaczamy z warunków początkowych:

x(0) = 0,

x(0) = x₀.