69933 Strona4

gdzie: Djest prostokątem (2). Następnie wiadomym sposobem wyliczamy całkę podwójną • prawej strony (4). Mamy:

^V1 Z _

+    + 4*0/1 + Ax² dx d: -\[\(xzyf \ + 4x^a + 1 + 4x^T)d:]Jx =

D    “* ⁰

= 2j(x/l + 4x^a + 1 +Ax^T)dx = ~_l    .

—i    •»    -*    '

28

zatem I—~y.

.

Zadanie 1.4. Obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną:

/■=SS*³ⁱ»>

5

gdzie: S jest powierzchnią kuli o równaniu x³ + y³ + z² = R².

Rozwiązanie. W tym zadaniu wygodniej będzie posłużyć się równaniami parametrycznymi danej powierzchni S. Wiadomo, żc równania parametryczne powierzchni kulistej o środku w początku układu współrzędnych i promieniu R są:

0)

x = R cos p cos O, y = R sin p cos O, z — R sin O,

gdzie:

(rolę parametrów spełniają tu długość geograficzna p i szerokość geograficzna O)- P'^a układu funkcji (1) tworzymy-macierz pochodnych postaci (1.6):

—R sin p cos 9    R cos'# cos 9    0

’ dx	ćy	dz'
b?	?<?	C(f
dx	ŚŁ	dz
Jc9	ćO	be.

%

—R cos ę sin 9 —R sin p sin 9 R cos 9 Wyznaczamy teraz pod wyznaczniki tej macierzy postaci (1.8). Mamy wtedy:

B =

C =

dy dz			ji cos p cos 9 0
co	do	_
cy dz de c9			— k sin psin 9 Jfcos 9
dz dx			0 —.Rsinpcos#
c<?	c?p
dz dx			< ^u Rcos9 —R cos osin O
Ć9 b9			j
dx dy_			-V k —R sin ę cos O R cos p
di? dtp
Bx dy Jo Je			U- « — R cos psin 6 — Ksinp

cc

■ R² sin <? cos² 9,

Cr

= R² cos ę cos¹ 9, (■*) — R² sio O cos 9, stąd:

A^s -i-B² + C^: — (R² cos p cos²#)² + (R² sin p cos²#)² -f (R² sin 9 cos #)² = R⁴cos'9, a więc:

(5)    /a² + B² -r C^z = R² cos 9.

Stosując teraz wzór (1.7) i uwzględniając przy tym (1) i (5), otrzymujemy:

7 = j S c² dS = ) j (R sin O)² R² cos 9 dę dO — R⁴ \ \ sin² O cos O d<?dO,

s    J    J

gdzie: A jest prostokątem określonym nierównościąrrti (2). Z kolei wyliczamy całkę podwójną:

!s ;

R⁴ j J sin¹ O cos O dę>d9 — R⁴ J dp j s\n² 9 COS O d9 J    o _«

2

4

Wobec tero I — zR⁴.

Zadanie 1.5. Obliczyć całkę:

\ J 0* i - -i- / u² — a:²) dS, s

gdzie:.¹fjest częścią pow icrzrhni walca \² -- >’² — o², /i>0. zawartą między płaszczyznami r — 0, r « /?, h>0.

93