73992 skanuj0023 (174)

Rys. 1.10. Rozważmy przykład cząsteczki dibromometanu CH₂Br₂. Ma ona dwie płaszczyzny symetrii prostopadłe do siebie i oś dwukrotną wyznaczoną przez przecięcie płaszczyzn.

Operacje symetrii 2, mim' tworzą grupę, którą oznacza się 2 mm. Każdy iloczyn dwóch operacji grupy jest nową operacją, jeżeli uwzględniono operację identyczności 1. Istotnie, można łatwo sprawdzić tablicę iloczynów przekształceń podającą iloczyn operacji lewej kolumny przez operację podaną w pierwszym wierszu (np.: 2 x m = m! itd.):

1	2	m	m'
2	1	m	m
m	m'	1	2
tri	m	2	1

W przykładzie tym tablica iloczynów przekształceń jest symetryczna w stosunku do głównej przekątnej. Nie zachodzi to zawsze we wszystkich grupach, gdyż operacje symetrii nie muszą być przemienne

1.1.5.2* Twierdzenia

1.    Wszystkie elementy symetrii zbioru skończonego przecinają się przynajmniej w jednym punkcie, stąd nazwa grupa punktowa. Twierdzenie to można udowodnić przez sprowadzenie do niedorzeczności: wystarczy sobie wyobrazić dwa elementy symterii, które się nie przecinają. W wyniku wzajemnego oddziaływania tworzą one nieskończoną liczbę elementów, rozproszonych w nieskończoności.

2.    Jeżeli oś o krotności parzystej jest prostopadła do płaszczyzny symetrii, przecięcie stanowi środek symetrii. Albo: jeżeli środek symetrii znajduje się na osi o krotności pa-parzystej, płaszczyzna prostopadła do osi i przechodząca przez środek symetrii jest płaszczyzną symetrii. Albo: jeżeli płaszczyzna symetrii zawiera środek symetrii, prostopadła musi być osią o krotności parzystej.

Twierdzenia te można sprawdzić przez zastosowanie operatorów do jednego punktu lub przez przedstawienie ich działania na rzucie stereograficznym.

3.    Jeżeli ciało ma tylko jedną oś symetrii, każda płaszczyzna symetrii powinna przechodzić przez oś lub być do niej prostopadła. Istotnie, płaszczyzna ukośna względem osi tworzyłaby drugą oś.

4.    Jeżeli oś o krotności X znajduje się w płaszczyźnie symetrii, istnieje X płaszczyzn symetrii tworzących z sobą kąty tz/X. Odwrotnie, jeżeli X płaszczyzn symetrii przecina się

27