Capture233

:_r>

ibi

__12 _

,V(iV + I,

H =

Średnia = W_t * ^NiN * ¹ > 4

Wariancja = oti =    ⁺    + |,

²⁴ -:

Rozkład IV. bardzo «ybko zbliża się do postaci normalne. \\ przy dostatecznie dużych próbach (N > 5) można poslugiuac normalnym. Odchylenie normalne z opisane jest wzorem

W - ^■+ ») 4

/ ^(/V + I H2iV + |)

24

Jak zwykle, dla istotności na poziomie 5 procent i 1 procenta | v runkowym. czyli dwustronnym, wymagane są wartości l.% j ■> ^ ^l - ''v Przy N do 40 można korzystać z tablicy I zamieszczonej w    ,

zawiera prawdopodobieństwa skumulowane dla wartości IV. zbłiżom h •    ‘

poziomów istotności 0,5, 0,25, 0.1 i 0.005. Dla przykładu przy \ istotności 0.05 podane są dwie wartości: 10 z prawdopodobieństwem .. prawdopodobieństwem 0.0527. Znaczy to. ze prawdopodobieństwo otn. ■ równego bądź mniejszego niż 10. przy założeniu hipotezy zerowej. w_)n.N prawdopodobieństwo otrzymania IV. równego bądź mniejszego niz \\^_u.    .

Jest to test kierunkowy. Wykorzystuje on dolną połowę rozkładu

Może nam być jednak potrzebny test kierunkowy wykorzystujmy . _r wę rozkładu. Przypomnijmy tu. że największa wartość IV. równa je>i \ v . Ponieważ rozkład jest symetryczny, odpowiednia wartość górnej poł„_A\. , równa jest [N(N + I )/2] - W.. Wielkość ta równa jest bezwzględnej war. , rang ujemnych IW.I. Dla przykładu przypuśćmy, że N = 10. a H’ = su j^. prawdopodobieństwo otrzymania wartości IV, równej bądź większej nu ? hipoteza zerowa jest prawdziwa? Obliczamy |N{N ♦ lj/2) - W, - io »    *.

= 5. W tablicy I odnajdujemy wartość 5 i odczytujemy prawd. [\s| ... 0.0098. A zatem przy założeniu hipotezy zerowej prawdopodobieństwa otm wartości W. równej bądź mniejszej niż 50 wynosi około 0.01 Przy icsoe y_u runkowym bądź dwustronnym dokonujemy odpowiedniego odczytu w tahy W. bądź [N(N + l)/2J - W., zależnie od tego. która wartość jest ntniejs/a żymy odczytane prawdopodobieństwo przez 2.

Przedstawiona tu procedura wydaje się dość zawiła W puktwe stępujemy w sposób bardzo prosty. Najpierw obliczamy U . i IH Nastę;*-bieramy mniejszą z tych dwóch wartości i odnajdujemy ja w tablic) 1 prz> c wiedniej wartości N.

Poniżej podajemy przykładowe pary pomiarów. A’ i V. otrzymane z p osób badanych:

Ranga

IS	19	31	36	10	li	19	15	10	16
19	30	26	8	10	6	17	13	22	8
-1	>11	5	28	0	5	2	2	-12	8
-3	-7	4.5	9		4.5	1.5	I.S	-8	6

Obliczamy wartość, cl Jedna para pomiar/^ _Km mijamy j«l *    gmpo*mu Po,muk    _{d rtr}    ^

ufel bezwzględnych Wartość, ru,mn»e,ve ^ ^ ₂ ^    * **

ggOM tV«. czyli «bm rang do*M.(6_{MkB)M r >t} .

. 9 X % - 27 = IH. Zwróćmy uwage ujemnych, również wynos. 18. Wartość «c odo***.* * uMky I A .'. ** paykladz.c mc mamy podstaw do odrzucana hipotezy zerowe, « hta Ł,trunkowym. ani przy teście bezkierunkowym.

W/glcdna efektywność asymptotyczna testu znak,Vw rangowych WJko*,ma w porównaniu z. testem f wynos. 0.955 Te« ten możemy traktować jako użyteczny i zadowalający test alternatywny wobec testu t.

22.7. Test rang dla k prób niezależnych (test // Kruskala-Wallisal

Testem rang dla prób niezależnych jest test // Knekala-WaJIisa (|952t Test ten jest uogólnieniem testu sumy rang Wilcoxona na k grup Hipoteza zerowa powiada tu. że k niezależnych prób o liczebności ,V,. N_:    V. elementów pochodzi z tej

samej populacji. Wszystkie pomiary z * grup rangu]cm> Najniższej wartości przypisujemy rangę 1. kolejnej wartości wyższej rangę 2 ud. Dla każdej z k prób obliczamy sumę rang /?.. Jeżeli wszystkie k prób pochodzi / tej samej populacji, to oczekujemy, że średnia suma rang R, będzie we wszystkich tych k grupach równa i zarazem równa średniej N rang. która wynosi <.V - li/2.

Rozkład zerowy wymaga tu uwzględnienia .V! układów rang w i grupach. Każdy układ uważamy za jednakowo prawdopodobny Dla każdego z tych układów możemy obliczyć następującą statystykę:

<21101

Wielkość umieszczona w nawiasach jest po prostu różnicą między średnimi z. i-tej grupy podniesioną do kwadratu. Jest to wartość oczekiwana przy założeniu hipotezy zerowej. Ponieważ grupy mogą mieć niejednakową liczebność, każdą różnicę podniesioną do kwadratu ważymy według liczebności grupy X, w celu otrzymania ostatecznej sumy kwadratów S. Dla każdego z A" układów rang możemy obliczyć statystykę 5 i zbadać jej rozkład liczebności Warto posługiwać się statystyką H. która jest ściśle związana z S. Wyrażona jest ona wzorem

_125

,V(,V + l)

Rozkład H jest zbliżony do rozkładu chi-kwadrat ik- I Przybliżenie to jest dostatecznie dokładne przy X, > ' i k Z • ^{J la W}    J

krytycznych H z nrawdopodobieństwami dokładnymi przy • - . i .,< - op

463

462