Capture280

dratu. sumując po N przypadkach, dzieląc pr/c/ N i przyjmując zalu/eaie. u •, niki w zakresie czynników %a nie skorelowane. możemy łatwo wyka/* rc

s} ³ 1 = 4 ⁺ °b + ••• + ^rt/m ♦    <2*5i

Rów nanie to powiada, żc całkowita wariancję testu j ino/na podzielić na .uWy!)** części: składowa, za która odpowiedzialny jest pierwszy czynnik aj\, składn-Aiu która odpowiedzialny jest drugi czynnik aj> itd. Wielkości u,, sa współc/r . -korelacji między zmiennymi a czynnikami. Przyjmując interpretację wspołc/yco. ków korelacji w- kategoriach wariancji. afr mo/na zinterpretować jako prtpxcy wariancji całkowitej, za która odpowiedzialne sa poszczególne czynniki

Poszczególnym składowym wariancji przypisuje się różne nazwy L-.t zmienności wspólnej danej zmiennej, zwykle oznaczany symbolem hj, jc« kwadratów wspólnych ładunków czynnikowych, przy czym za czynnik w\jxV-uważa się czynnik, który jest wspólny co najmniej dwóm zmiennym w ztoor/r K zatem:

hj = aj\ + ... + aj_m ■    (28ół

Zasób zmienności wspólnej danej zmiennej stanowi tę część wariancji, kiórjimi przypisać czynnikom wspólnym. Pozostałą część wariancji, której nic można przypisać czynnikom wspólnym, określamy mianem zasobu z/niennoki swoistej i . naczamy symbolem dj. Zasób zmienności swoistej dzieli się czasami nadwatlL inki: specyficzność hj i wariancję błędu ej. Specyficzność jest częścią **nc..i całkowitej, za która odpowiedzialne sa czynniki specyficzne dla konkretne) r.c ncj, nie zaś błąd pomiaru. Ponieważ każdy pomiar obciążony jest w pewnym • pmu błędem, we wszystkich zastosowaniach analizy czynnikowej część i-vn zmienności swoistej wynika / błędu pomiaru. Jeżeli /namy współczynnik rzetc!-ści dla konkretnej zmiennej, to z łatwością możemy obliczyć wariancję Wę&M podstawie wzoru <7=1- r_ll% gdzie r_;/ jest współczynnikiem rzetelności te>r. Wielkość ej jest niczym innym, jak tylko wariancją błędu pojedynczego durdowego wyniku testu.

28.6. Odtwarzanie współczynników korelacji

Analiza czynnikowa zaczyna się od tabeli współczynników korelacji między zrc.«-nymi. Zmienne przedstawione są łam jako sumy ważone czynników Jaki <v zależność między czynnikami a pierwotnymi współczynnikami korelacji? W i. sposób można niejako wyjaśnić współczynniki korelacji w kategoriach wspóbjd ładunków czynnikowych? Albo — innymi słowy — w jakim stopniu korci* zaobserwowanym odpowiada model liniowy?

Korelacji między dwiema zmiennymi ujętymi w pwuct wyników Mm* daniowych opisana jest wzorem

^r*

I

n - i

• »7j

Możemy zapisać następujące równania

'l» ⁼ °|l^ll ♦ <VJ^i ♦ ■" ♦ °m Fm ♦ typ U* ~ Ołl^li ♦    ♦ - ♦ ÓW. Fm ♦ d,!/,

Równania tc. lówmc/ ujęte W postaci standardowe), mnożymy przez siebie, sura*-jemy po A' osobach i dzielimy przez N 1 Czynniki wspólne me ki -el -wane ze sobą. Czynniki swoiste są nie skorelowane ani u <bą. an> z czynr.rtam - spr,¹ nymi. Pr/.yjąwszy takie upraszczające założenia, otrzymujemy następuje. rezulut

^rji * a,,du ♦ Offlm + — + <v>*«    <28.91

Równanie to. mające zastosowanie tylko wobec czyr.r.ik. rś.«!owi-nych. pokazuje, jak można odtworzyć współczynnik korelacji między dwiema zmiennymi na podstawie ładunków czynnikowych Wielkość a u. traktujemy jako ud/ial pierwszego czynnika w korelacji, wielkość jako udział drugiego czynnika w korelacji itd Odtworzony współczynnik korelacji oznaczyliśmy r_t dla odróżnienia od r_A, zaobserwowanego współczynnika korelacji. Odtworzony współczynnik korelacji między dwiema zmiennymi jest sumą iloczynów wspólnych ładunków czynnikowych. Przy rzeczywistych danych, z powodu błędu próby bądź innego rodzaju błędów, korelacja odtworzona na podstawie ładunków czynnikowych różni się w pewnym stopniu od korelacji zaobserwowanych

Różnice między korelacjami zaobserwowanymi a odtworzonymi określa się mianem korelacji resziwych. r_t - r„ - r_A. Wielkość korelacji res/towych wskazuje. w jakim stopniu czynniki odpowiedzialne są za korelacje zaobserwowane albo w jakim stopniu zaobserwowanym korelacjom odpowiada model liniowy

28.7. Przykład

Rozpatrzmy przykład ilustrujący zagadnienia omówione dotychczas. Mamy następującą tabelę korelacji między sześcioma zmiennymi;

	1	2	3	4
1 2	0.61
3	0.48	0.45
4	0,t»	0.27	0J6
5	- 0.05	0.14	0.27	0.45
6	-0.36	0.05	0.15	0.4S

557