DSC04655

Otrzymujemy wtedy

♦U') ⁵⁵ .vf “ A ~ ⁵0'l + Y2)ys + 7(y, - >s).v₃

= W -    + 2>‘,yj - 12*2*3.

Dulcj postępujemy luk jak w punkcie (u i. Mamy mianowicie 0(t») = (yf+ 2yiyO - yj - I2.v₂v»

= CVi + vó² - \j - *f - 12*2*1.

Nowe współrzędne Z|.;< określamy wzorami

*■2 -Zy =

=    y₂.

+ y.i.

yj-

Funkcja 0 jako funkcja zmiennych Z\, ’₂. Z3 wyraża się następująco:

0(V) ss zj - s| -    - 12^223

= m-<zf + 12z2z₃)-^

- ^vi

= ;? - (;> + «:j)^: + 35?J.

I(ż2 *f 6zjj^r- 36zJ J - z.

Wobec tego stosujemy podstawienie

22 + 6zj, 23-

fi = Zi. f: = f3 =

Otrzymujemy wtedy

= /?-/? +35r{.

Bazę kanoniczną funkcjonału 0 znajdujemy podobnie jak w punkcie (a). Miano* u* wyprowadzamy najpierw równości

x, sb i, + ;₂ - 7/3.

*2 — /l “/2 + 5/y.

*3 =    /j.

Z równości tych odczytujemy, ze układ (|l. |.0|. (I. -1.0). (-7.5. I]) jest bazą ks* roczną funkcjonału 0 Mamy przy tym

<P(i_llU.O| + i₂|l.-I.O| + x,[-7.5.ll) = x‘-xj + 35x_J\

Przykład 96. Metodą Jacobtcgo znaleźć formę kanoniczna i bazę kanoniczna f«k cjonału kwadratowego 0 określonego na przestrzeni wektorowej R' 1 mającego w pc* nej buk0s(vi, t*. u»J formę xf + 8x| + 5x^ + 6x1x2 + 2xix» +

Rozwiąyinit. Macierz A = \a_tl\ funkcjonału 0 w bazie B jest następująca 1 3 r

A =

3 8 4    .

1 4 5

ri Mcrfwmti «tM)r*i»» i di łymy

Obliczamy najpierw wyznaczniki

Si

di = dct(rt||) = dcl[ I |=l. A: - dci [^{1,11 0,1}1

L "21 <*cj an aij a i)

A* = dci

= deM = -5.

021 Ok flj i 0j| Ojj flił

Przyjmujemy też umowę, że żJ₀ = I Ponieważ J_t ^ O, dj jfcOidj eO.więc do danej formy funkcjonału <P można zastosować metodę Jacobiego i przy tym metoda u prowadzi do pewnej bazy kanonicznej B' = (u;. tr£, v\) funkcjooału <t>. w której fnokcjnairf ten ma formę

+ .*2tŃ + ^Uj) =    + ~Jr| + ^x] = *{ -zj+ |*j

/J| Ai Aj    ‘

Wektory bazy £>' są określone przez warunki.

I" Macierz przejścia C = [c,,| od bazy B do bazy B jeu {ómotnjjLpm. tzti jen mu postaci

C =

C»l C|2 C» O ck Cd O O Cg

2" Jeśli y oznacza funkcjonał dwuiiniowy symetryczny wynucający funkcpmal tf». lo zachodzą równości;

f|ł = 0.

=0. ll8) tłtrj.rjłsł.

<p(v\. u,) = 1,

j VJ(ŁŚ.l',) = 0. I <p(t<.i':ł= I;

Zauważmy, ze np. wartość tp{v’₂. V|) można wyrauć następująco

V\) =    +ĆJ2da* t'lł = C|2tPU'|. »lV+f2fłtł.*l)

Układom równań (7.8) możemy więc nadać postać;

( C|2 + 3t 22 * 0. 1 3cu + 8C2J = I.

CtJ + 3cy + C)> = 0. 3cu + 8cu+4c_u=0. ci? +4cj|45cj.»* I.

	1	3	4 "5
c =	0	-1	i 5
	_ 0	0	i S

Rozwiązując powyższe układy równań inajlepiej za pomocą wzorów Cfamcrai, otrzymujemy równość

'Mrayiujcmy ** « B' = (».-*. - *    + (*>⁺ N *•***’ **“

Poprawność obliczeń. Mamy