Kolokwium II z rachunku prawdopodobieństwa
13.01.1999
Imię i Nazwisko.........................................................................................................
1. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozkład jednostajny w prostokącie . Wyznaczyć funkcję gęstości rozkładu zmiennej , gdzie , .
2. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozkład czysto skokowy o funkcji prawdopodobieństwa , gdzie N {1,2,...}, określonej wzorem
.
a) Wyznaczyć stałą c.
b) Zbadać niezależność zmiennych .
c) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że .
3. Niezależne zmienne losowe mają identyczny rozkład określony tabelką
.
a) Wyznaczyć stałą p.
b) Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej .
c) Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej .
4. Wyznaczyć k-ty moment mk, gdzie k ∈ N, zmiennej losowej X o rozkładzie bezwzględnie ciągłym określonym funkcją gęstości
5. Niech będzie ciągiem takich niezależnych zmiennych losowych, że zmienna Xn ma rozkład Bernoulliego z parametrami n, (n 1,2,...). Sprawdzić, czy ciąg zmiennych spełnia słabe i mocne prawo wielkich liczb.
6. Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie równomiernym dla k = 1,0,1,2,3. Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa zdarzenia, że średnia arytmetyczna 50 tych zmiennych jest mniejsza od .
Kolokwium II z rachunku prawdopodobieństwa
13.01.1999
Imię i Nazwisko.........................................................................................................
1. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozkład jednostajny w prostokącie . Wyznaczyć funkcję gęstości rozkładu zmiennej , gdzie , .
2. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozkład czysto skokowy o funkcji prawdopodobieństwa , gdzie N {1,2,...}, określonej wzorem
.
a) Wyznaczyć stałą c.
b) Zbadać niezależność zmiennych .
c) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że .
3. Niezależne zmienne losowe mają identyczny rozkład określony tabelką
.
a) Wyznaczyć stałą p.
b) Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej .
c) Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej .
4. Wyznaczyć k-ty moment mk, gdzie k ∈ N, zmiennej losowej X o rozkładzie bezwzględnie ciągłym określonym funkcją gęstości
5. Niech będzie ciągiem takich niezależnych zmiennych losowych, że zmienna Xn ma rozkład Bernoulliego z parametrami n, (n 1,2,...). Sprawdzić, czy ciąg zmiennych spełnia słabe i mocne prawo wielkich liczb.
6. Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie równomiernym dla k = 2,1,0,1,2. Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa zdarzenia, że średnia arytmetyczna 200 tych zmiennych jest mniejsza od .
KOLOKWIUM Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Imię i Nazwisko................................................................................................
1. Dwuwymiarowa zmienna losowa X (X1,X2) ma rozkład jednostajny w trójkącie o wierzchołkach A(0,0), B(4,0), C(0,2).
a) Podać wzór na funkcję gęstości zmiennej X (X1,X2).
b) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X (X1,X2).
c) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia .
2. Dwuwymiarowa zmienna losowa X (X1,X2) ma rozkład o funkcji gęstości
gdzie . Wyznaczyć funkcje gęstości rozkładów brzegowych. Czy zmienne losowe X1, X2 są niezależne. Odpowiedż uzasadnić.
3. Niezależne zmienne losowe X1, X2 mają jednakowe rozkłady gamma z parametrami λ 3, s 2. Wyznaczyć rozkład zmiennej Y X1 X2.
4. Funkcja charakterystyczna jednowymiarowej zmiennej losowej X jest okreslona wzorem
.
a) Wyznaczyć rozkład zmiennej X.
b) Obliczyć EX i D2X.
5. Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach Pareto z parametrami a n 3, b n 2 dla n∈N. Sprawdzić, czy ciąg (Xn) spełnia słabe i mocne prawo wielkich liczb.
KOLOKWIUM Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Imię i Nazwisko................................................................................................
1. Dwuwymiarowa zmienna losowa X (X1,X2) ma rozkład jednostajny w trójkącie o wierzchołkach A(0,0), B(2,0), C(0,4).
a) Podać wzór na funkcję gęstości zmiennej X (X1,X2).
b) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej X (X1,X2).
c) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia .
2. Dwuwymiarowa zmienna losowa X (X1,X2) ma rozkład o funkcji gęstości
gdzie . Wyznaczyć funkcje gęstości rozkładów brzegowych. Czy zmienne losowe X1, X2 są niezależne. Odpowiedż uzasadnić.
3. Niezależne zmienne losowe X1, X2 mają jednakowe rozkłady gamma z parametrami λ 2, s 3. Wyznaczyć rozkład zmiennej Y X1 X2.
4. Funkcja charakterystyczna jednowymiarowej zmiennej losowej X jest okreslona wzorem
.
a) Wyznaczyć rozkład zmiennej X.
b) Obliczyć EX i D2X.
5. Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach Pareto z parametrami a n 4, b n 3 dla n∈N. Sprawdzić, czy ciąg (Xn) spełnia słabe i mocne prawo wielkich liczb.
Kolokwium II z rachunku prawdopodobieństwa
Imię i Nazwisko................................................................................................
1. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozkład jednostajny w prostokącie . Wyznaczyć rozkład zmiennej , gdzie
,.
2. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o funkcji charakterystycznej .
3. Niech X1, X2,X3 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie gamma z parametrami λ i s. Wyznaczyć parametry tego rozkładu, jeśli funkcja charakterystyczna zmiennej losowej jest równa .
4. Dana jest przestrzeń probabilistyczna , gdzie Ω 0,1>, M jest rodziną podzbiorów borelowskich przedziału 0,1>, P jest miarą Lebesgue'a. Niech będzie ciągiem zmiennych losowych określonych wzorem
Sprawdzić, czy ciąg jest zbieżny do zmiennej losowej X o rozkładzie jednopunktowym P(X 1) 1:
a) według prawdopodobieństwa,
b) z prawdopodobieństwem 1,
c) przeciętnie z kwadratem.
5. Niech będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, gdzie zmienna Xn ma funkcję charakterystyczną dla n∈N. Sprawdzić, czy ciąg spełnia słabe i mocne prawo wielkich liczb.
Kolokwium II z rachunku prawdopodobieństwa
Imię i Nazwisko................................................................................................
1. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozkład jednostajny w prostokącie . Wyznaczyć rozkład zmiennej , gdzie
,.
2. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o funkcji charakterystycznej .
3. Niech X1, X2,X3 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie gamma z parametrami λ i s. Wyznaczyć parametry tego rozkładu, jeśli funkcja charakterystyczna zmiennej losowej jest równa .
4. Dana jest przestrzeń probabilistyczna , gdzie Ω 0,1>, M jest rodziną podzbiorów borelowskich przedziału 0,1>, P jest miarą Lebesgue'a. Niech będzie ciągiem zmiennych losowych określonych wzorem
Sprawdzić, czy ciąg jest zbieżny do zmiennej losowej X o rozkładzie jednopunktowym P(X 0) 1:
a) według prawdopodobieństwa,
b) z prawdopodobieństwem 1,
c) przeciętnie z kwadratem.
5. Niech będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, gdzie zmienna Xn ma funkcję charakterystyczną dla n∈N. Sprawdzić, czy ciąg spełnia słabe i mocne prawo wielkich liczb.
Kolokwium II z rachunku prawdopodobieństwa
27 maja 1998
Imię i Nazwisko...........................................................grupa.........................................
1. Niezależne zmienne losowe mają jednakowy rozkład jednostajny w przedziale . Wyznaczyć funkcję gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej .
2. Niezależne zmienne losowe mają jednakowy rozkład wykładniczy z parametrem . Wyznaczyć macierz kowariancji zmiennej .
3. Niezależne zmienne losowe mają jednakowy rozkład określony tabelką
.
a) Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej .
b) Czy funkcja charakterystyczna zmiennej przyjmuje tylko wartości rzeczywiste? Odpowiedź uzasadnić.
c) Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej .
4. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω,M,P), gdzie , M jest rodziną podzbiorów borelowskich zbioru Ω, P jest miarą Lebesgue'a (długością przedziału) oraz określony jest ciąg zmiennych losowych takich, że
Sprawdzić, czy ciąg jest zbieżny do zmiennej losowej X o rozkładzie jednopunktowym P(X 0) 1:
a) według prawdopodobieństwa,
b) z prawdopodobieństwem 1,
c) przeciętnie z kwadratem.
5. Niech będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach zero-jedynkowych z parametrem . Sprawdzić, czy ciąg zmiennych , gdzie dla n∈N, spełnia słabe i mocne prawo wielkich liczb.
6. Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach z funkcją charakterystyczną . Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa .
Kolokwium II z rachunku prawdopodobieństwa
27 maja 1998
Imię i Nazwisko...........................................................grupa.........................................
1. Niezależne zmienne losowe mają jednakowy rozkład jednostajny w przedziale . Wyznaczyć funkcję gęstości rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej .
2. Niezależne zmienne losowe mają jednakowy rozkład wykładniczy z parametrem . Wyznaczyć macierz kowariancji zmiennej .
3. Niezależne zmienne losowe mają jednakowy rozkład określony tabelką
.
a) Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej .
b) Czy funkcja charakterystyczna zmiennej przyjmuje tylko wartości rzeczywiste? Odpowiedź uzasadnić.
c) Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej .
4. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω,M,P), gdzie , M jest rodziną podzbiorów borelowskich zbioru Ω, P jest miarą Lebesgue'a (długością przedziału) oraz określony jest ciąg zmiennych losowych takich, że
Sprawdzić, czy ciąg jest zbieżny do zmiennej losowej X o rozkładzie jednopunktowym P(X 0) 1:
a) według prawdopodobieństwa,
b) z prawdopodobieństwem 1,
c) przeciętnie z kwadratem.
5. Niech będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach zero-jedynkowych z parametrem . Sprawdzić, czy ciąg zmiennych , gdzie dla n∈N, spełnia słabe i mocne prawo wielkich liczb.
6. Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach z funkcją charakterystyczną . Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa .
Kolokwium II z rachunku prawdopodobieństwa
Imię i Nazwisko...........................................................................................
1. Zmienna losowa X ma rozkład .
a) Wyznaczyć stałą c.
b) Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej X.
c) Obliczyć EX.
2. Niezależne zmienne losowe X1,X2,X3 mają identyczny rozkład określony tabelką
.
Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej .
3. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω,M,P), gdzie Ω 0,1>, M jest rodziną podzbiorów borelowskich przedziału 0,1>, P jest miarą Lebesgue'a (długością przedziału). Niech będzie ciągiem zmiennych losowych określonych na 0,1> wzorem
Sprawdzić, czy ciąg jest zbieżny do zmiennej losowej X o rozkładzie jednopunktowym :
a) według prawdopodobieństwa,
b) z prawdopodobieństwem 1,
c) średniokwadratowo.
4. Niech będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach gamma z parametrami odpowiednio , . Sprawdzić, czy ciąg , gdzie , spełnia słabe i mocne prawo wielkich liczb.
5. Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie z trzema stopniami swobody. Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa .
Kolokwium II z rachunku prawdopodobieństwa
Imię i Nazwisko...........................................................................................
1. Zmienna losowa X ma rozkład .
a) Wyznaczyć stałą c.
b) Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej X.
c) Obliczyć EX.
2. Niezależne zmienne losowe X1,X2,X3 mają identyczny rozkład określony tabelką
.
Wyznaczyć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej .
3. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω,M,P), gdzie Ω 0,1>, M jest rodziną podzbiorów borelowskich przedziału 0,1>, P jest miarą Lebesgue'a (długością przedziału). Niech będzie ciągiem zmiennych losowych określonych na 0,1> wzorem
Sprawdzić, czy ciąg jest zbieżny do zmiennej losowej X o rozkładzie jednopunktowym :
a) według prawdopodobieństwa,
b) z prawdopodobieństwem 1,
c) średniokwadratowo.
4. Niech będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach gamma z parametrami odpowiednio , . Sprawdzić, czy ciąg , gdzie , spełnia słabe i mocne prawo wielkich liczb.
5. Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie z czterema stopniami swobody. Obliczyć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa .